Verilen problemde $u, \vartheta, p$ pozitif tam sayılardır ve aşağıdaki koşulları sağlamaktadır:

• $u > 1$
• $\vartheta > 2$
• $p > 3$
• $u + \vartheta + p = 13$

Bu koşulları sağlayan kaç farklı $(u, \vartheta, p)$ sıralı üçlüsü olduğunu bulmak için adımları takip edelim:

1. Eşitsizlikleri düzenleme:

   Verilen eşitsizlikleri minimum değerleri belirleyecek şekilde yeniden yazalım:

   • $u > 1 \implies u \ge 2$
   • $\vartheta > 2 \implies \vartheta \ge 3$
   • $p > 3 \implies p \ge 4$

2. Yeni değişkenler tanımlama:

   Her bir değişkenin minimum değerini 1'e indirgemek için yeni değişkenler tanımlayalım:

   • $u' = u - 1 \implies u = u' + 1$ (Burada $u' \ge 1$)
   • $\vartheta' = \vartheta - 2 \implies \vartheta = \vartheta' + 2$ (Burada $\vartheta' \ge 1$)
   • $p' = p - 3 \implies p = p' + 3$ (Burada $p' \ge 1$)

3. Denklemi yeni değişkenlerle yazma:

   Ana denklemi $u + \vartheta + p = 13$ yeni değişkenlerle ifade edelim:

   $(u' + 1) + (\vartheta' + 2) + (p' + 3) = 13$

   $u' + \vartheta' + p' + 6 = 13$

   $u' + \vartheta' + p' = 7$

4. Yıldız ve Çubuklar (Stars and Bars) yöntemini uygulama:

   Şimdi $u', \vartheta', p'$ pozitif tam sayılar olmak üzere, toplamları 7 olan üç sayının kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulmalıyız. Bu, $n$ elemanı $k$ pozitif tam sayıya bölme problemidir ve $\binom{n-1}{k-1}$ formülü ile çözülür.

   Burada $n=7$ (toplam) ve $k=3$ (değişken sayısı).

   Çözüm sayısı $= \binom{7-1}{3-1} = \binom{6}{2}$

5. Kombinasyonu hesaplama:

   $\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$

Bu nedenle, verilen koşulları sağlayan 15 farklı $(u, \vartheta, p)$ sıralı üçlüsü yazılabilir.

Cevap D seçeneğidir.