Bu problem, $u, \vartheta, p$ doğal sayılar olmak üzere $u + \vartheta + p = 9$ denklemini sağlayan kaç farklı $(u, \vartheta, p)$ sıralı üçlüsü olduğunu bulmamızı istiyor.

Adım 1: "Doğal Sayı" Tanımını Belirleme

• Matematikte doğal sayılar kümesi bazen $N = \{1, 2, 3, ...\}$ (pozitif tam sayılar) olarak, bazen de $N_0 = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ (negatif olmayan tam sayılar) olarak tanımlanır. Bu tür kombinatorik problemlerinde genellikle $0$ da dahil edilir. Seçeneklere bakıldığında, $0$ dahil edildiğinde doğru cevaba ulaşıldığı görülmektedir. Bu nedenle, $u, \vartheta, p \ge 0$ kabul edeceğiz.

Adım 2: Yıldız ve Çubuklar Yöntemini Uygulama

• Bu tür bir denklemin negatif olmayan tam sayılardaki çözüm sayısını bulmak için "yıldız ve çubuklar" (stars and bars) yöntemi kullanılır.
• Genel formül şöyledir: $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ denkleminin negatif olmayan tam sayılardaki çözüm sayısı $\binom{n+k-1}{k-1}$ veya $\binom{n+k-1}{n}$'dir.

Adım 3: Değerleri Yerine Koyma

• Bizim denklemimiz $u + \vartheta + p = 9$.
• Burada $n = 9$ (toplam) ve $k = 3$ (değişken sayısı: $u, \vartheta, p$).
• Formülü kullanarak çözüm sayısını hesaplayalım:
• Çözüm sayısı $= \binom{9+3-1}{3-1}$
• Çözüm sayısı $= \binom{11}{2}$

Adım 4: Kombinasyonu Hesaplama

• $\binom{11}{2} = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2!9!} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1}$
• $\binom{11}{2} = \frac{110}{2}$
• $\binom{11}{2} = 55$

Buna göre, $u + \vartheta + p = 9$ şartını sağlayan 55 farklı $(u, \vartheta, p)$ sıralı üçlüsü yazılabilir.

Cevap D seçeneğidir.