Bu problem, özdeş nesnelerin belirli koşullar altında farklı gruplara dağıtılmasıyla ilgili bir kombinasyon problemidir. Bu tür problemler genellikle "ayıraç yöntemi" veya "yıldız ve çubuklar" yöntemi ile çözülür.

• Adım 1: Problemi denkleme dönüştürme

Üç çocuğa sırasıyla $x_1, x_2, x_3$ adet oyuncak verildiğini varsayalım. Toplam oyuncak sayısı 13 olduğu için denklemimiz:

$$x_1 + x_2 + x_3 = 13$$

Her çocuğa en az 2 oyuncak verme şartı olduğu için, $x_1 \ge 2$, $x_2 \ge 2$ ve $x_3 \ge 2$ olmalıdır.

• Adım 2: Minimum şartı ortadan kaldırma

Her çocuğa zaten 2 oyuncak verilmiş gibi düşünebiliriz. Bu durumda, her çocuktan 2 oyuncak "önceden" almış gibi yeni değişkenler tanımlayalım:

$$y_1 = x_1 - 2 \implies x_1 = y_1 + 2$$

$$y_2 = x_2 - 2 \implies x_2 = y_2 + 2$$

$$y_3 = x_3 - 2 \implies x_3 = y_3 + 2$$

Bu yeni değişkenler için $y_1 \ge 0$, $y_2 \ge 0$ ve $y_3 \ge 0$ olur.

• Adım 3: Yeni denklemi oluşturma

Tanımladığımız yeni değişkenleri ana denkleme yerine koyalım:

$$(y_1 + 2) + (y_2 + 2) + (y_3 + 2) = 13$$

$$y_1 + y_2 + y_3 + 6 = 13$$

$$y_1 + y_2 + y_3 = 13 - 6$$

$$y_1 + y_2 + y_3 = 7$$

Şimdi problem, 7 özdeş oyuncağı 3 çocuğa (her birine 0 veya daha fazla oyuncak verilebilir) kaç farklı şekilde dağıtabileceğimiz problemine dönüştü.

• Adım 4: Ayıraç yöntemini (yıldız ve çubuklar) uygulama

Bu tür problemlerin çözümü için formül $\binom{n+k-1}{k-1}$ veya $\binom{n+k-1}{n}$ şeklindedir. Burada $n$ dağıtılacak özdeş nesne sayısı (7 oyuncak) ve $k$ nesnelerin dağıtılacağı farklı grup sayısıdır (3 çocuk).

Formülü uygulayalım:

$$\binom{7+3-1}{3-1} = \binom{9}{2}$$

• Adım 5: Kombinasyonu hesaplama

$$\binom{9}{2} = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 9 \times 4 = 36$$

Buna göre, özdeş 13 oyuncağı üç çocuğa her birine en az 2 oyuncak vermek şartıyla 36 farklı şekilde dağıtabiliriz.

Cevap D seçeneğidir.