Bu problem, bir ızgara üzerinde belirli bir noktadan diğerine, sadece belirli yönlerde hareket ederek kaç farklı yol olduğunu bulma problemidir. Bu tür problemler genellikle kombinasyonlar veya tekrarlı permütasyonlar kullanılarak çözülür.
- Adım 1: Gerekli hareketleri belirleyin.
A noktasından B noktasına ulaşmak için sadece sağa ve yukarı doğru hareket edebiliriz. Izgarayı incelediğimizde:
- Sağa doğru 5 birim hareket etmemiz gerekiyor (5 sütun).
- Yukarı doğru 5 birim hareket etmemiz gerekiyor (5 satır).
Toplamda yapmamız gereken hareket sayısı: $5 \text{ (sağ)} + 5 \text{ (yukarı)} = 10$ harekettir.
- Adım 2: Kombinasyon formülünü uygulayın.
Bu problem, 10 hareketten 5 tanesinin "sağ" ve 5 tanesinin "yukarı" olduğu tekrarlı permütasyon problemidir. Bu, toplam 10 pozisyondan 5 tanesini "sağ" hareketler için seçmekle aynıdır (veya 5 tanesini "yukarı" hareketler için seçmekle).
Kullanılacak formül: $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$
Burada $n$ toplam hareket sayısı (10) ve $k$ aynı türdeki hareket sayısıdır (5 sağ veya 5 yukarı).
- Adım 3: Hesaplamayı yapın.
$$ \binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} $$
$$ \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 5!} $$
Paydadaki $5!$ ile paydaki $5!$ sadeleşir:
$$ \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} $$
Sadeleştirmeleri yapalım:
- $10 / (5 \times 2) = 1$
- $9 / 3 = 3$
- $8 / 4 = 2$
Geriye kalan terimleri çarparsak:
$$ 1 \times 3 \times 2 \times 7 \times 6 = 6 \times 42 = 252 $$
Buna göre, A'dan B'ye sadece sağa ve yukarı doğru hareket ederek 252 farklı şekilde ulaşılabilir.
Cevap A seçeneğidir.