Bir madeni para 9 kez atılıyor ve bizden 4'ünün yazı, 5'inin tura geldiği farklı durumların sayısı isteniyor.
Bu tür bir problem, belirli sayıda denemeden belirli sayıda başarılı sonucun seçilmesiyle ilgili olduğundan bir kombinasyon problemidir. Toplam 9 atıştan, 4 tanesinin yazı (veya eşdeğer olarak 5 tanesinin tura) geldiği durumların sayısını bulmamız gerekir.
Kombinasyon formülü $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir.
- Burada $n = 9$ (toplam atış sayısı)
- $k = 4$ (yazı gelme sayısı)
Şimdi hesaplamayı yapalım:
$$C(9, 4) = \binom{9}{4} = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!}$$
$$C(9, 4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 5!}$$
Pay ve paydadaki $5!$ terimlerini sadeleştirelim:
$$C(9, 4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$$
Paydadaki çarpım $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ eder. Paydaki çarpım $9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$ eder.
$$C(9, 4) = \frac{3024}{24}$$
$$C(9, 4) = 126$$
Buna göre, 4'ünün yazı ve 5'inin tura geldiği 126 farklı durum vardır.
Cevap A seçeneğidir.