Bu problemi çözmek için, "hiçbir yeşil bilyenin yan yana gelmemesi" şartını sağlamak amacıyla, önce diğer bilyeleri (beyaz ve turuncu) dizeriz. Daha sonra, bu bilyelerin oluşturduğu boşluklara yeşil bilyeleri yerleştiririz.
- Adım 1: Yeşil olmayan bilyeleri dizme.
Elimizde 3 beyaz (B) ve 2 turuncu (T) bilye var. Toplam 3 + 2 = 5 bilye.
Bu 5 bilyeyi kendi aralarında kaç farklı şekilde dizebileceğimizi tekrarlı permütasyon formülü ile buluruz:
\[ \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{120}{12} = 10 \]
Yani, beyaz ve turuncu bilyeler 10 farklı şekilde dizilebilir.
Bu dizilimler, yeşil bilyeler için boşluklar oluşturur. Örneğin, B T B T B şeklinde bir dizilimde, yeşil bilyeler için 6 boşluk oluşur:
_ B _ T _ B _ T _ B _
- Adım 2: Yeşil bilyeleri boşluklara yerleştirme.
Elimizde 5 yeşil bilye var ve bu bilyelerin hiçbiri yan yana gelmemeli. Bunun için, yukarıda oluşturduğumuz 6 boşluktan 5 tanesini seçerek her birine bir yeşil bilye yerleştirmeliyiz.
Bu, 6 boşluktan 5'ini seçme kombinasyonudur:
\[ \binom{6}{5} = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5!1!} = \frac{6 \times 5!}{5! \times 1} = 6 \]
Yani, yeşil bilyeler 6 farklı şekilde boşluklara yerleştirilebilir.
- Adım 3: Toplam farklı dizilim sayısını bulma.
Toplam farklı dizilim sayısını bulmak için Adım 1 ve Adım 2'deki sonuçları çarparız:
Toplam Dizilim = (Beyaz ve Turuncu bilyelerin dizilim sayısı) \(\times\) (Yeşil bilyelerin yerleştirilme sayısı)
Toplam Dizilim = \(10 \times 6 = 60\)
Bu nedenle, bilyeler 60 farklı şekilde dizilebilir.
Cevap D seçeneğidir.