Sorunun Çözümü
- Her öğrencinin yaptığı çarpma işlemini inceleyelim.
- Birinci öğrenci: $2 \times 4 = 8$
- İkinci öğrenci: $4 \times 8 = 32$
- Genel kurala göre, sırası gelen öğrenci bir çift sayıyı ($2i$) ve bu sayının iki katını ($4i$) çarpıyor.
- $i$. öğrencinin çarpım sonucu: $P_i = (2i) \times (4i) = 8i^2$
- Sınıfta $k$ öğrenci olduğunu varsayalım. Alper Öğretmen tüm sonuçları çarpıyor.
- Toplam çarpım: $P = P_1 \times P_2 \times \dots \times P_k$
- $P = (8 \cdot 1^2) \times (8 \cdot 2^2) \times \dots \times (8 \cdot k^2)$
- $P = 8^k \cdot (1^2 \cdot 2^2 \cdot \dots \cdot k^2)$
- $P = 8^k \cdot (k!)^2$
- $8$ yerine $2^3$ yazarsak: $P = (2^3)^k \cdot (k!)^2 = 2^{3k} \cdot (k!)^2$
- Soruda verilen toplam çarpım: $(2^{21} \cdot 14!)^2$
- Bu ifadeyi açarsak: $(2^{21})^2 \cdot (14!)^2 = 2^{42} \cdot (14!)^2$
- İki ifadeyi birbirine eşitleyelim: $2^{3k} \cdot (k!)^2 = 2^{42} \cdot (14!)^2$
- Eşitliğin her iki tarafındaki terimleri karşılaştırırsak:
- $(k!)^2 = (14!)^2 \implies k! = 14! \implies k = 14$
- $2^{3k} = 2^{42} \implies 3k = 42 \implies k = 14$
- Her iki karşılaştırma da öğrenci sayısını $14$ olarak verir.
- Doğru Seçenek A'dır.