Sorunun Çözümü
- Küme $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$'tir.
- I. ifade için:
- 2'nin olmadığı ve 1'in bulunduğu üçlü permütasyonları bulmak için, önce 2'yi kümeden çıkarırız: $A' = \{1, 3, 4, 5\}$.
- 1 elemanını üçlü permütasyonun 3 farklı konumundan birine yerleştiririz.
- Kalan 2 konumu, $A'$ kümesinin 1 dışındaki $\{3, 4, 5\}$ elemanlarından $P(3, 2)$ farklı şekilde doldururuz.
- Permütasyon sayısı: $3 \times P(3, 2) = 3 \times (3 \times 2) = 3 \times 6 = 18$.
- Bu ifade doğrudur.
- II. ifade için:
- 4'ün bulunduğu ikili permütasyonları bulalım.
- Eğer 4 ilk konumdaysa ($4\_$), ikinci konuma $A$ kümesinin kalan 4 elemanından biri gelebilir: $1 \times 4 = 4$ permütasyon.
- Eğer 4 ikinci konumdaysa ($\_4$), ilk konuma $A$ kümesinin kalan 4 elemanından biri gelebilir: $4 \times 1 = 4$ permütasyon.
- Toplam permütasyon sayısı: $4 + 4 = 8$.
- Bu ifade doğrudur.
- III. ifade için:
- A kümesinin tüm üçlü permütasyon sayısı $P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$'tır.
- En az bir çift rakam içeren permütasyonları bulmak için, tümü tek rakamlardan oluşan permütasyonları toplamdan çıkarırız.
- A kümesindeki tek rakamlar $\{1, 3, 5\}$'tir. Bu tek rakamlarla oluşturulabilecek üçlü permütasyon sayısı $P(3, 3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$'dır.
- En az bir çift rakam içeren üçlü permütasyon sayısı: $60 - 6 = 54$.
- Bu ifade doğrudur.
- Doğru Seçenek E'dır.