Verilen küme $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$'dir. Bu kümenin elemanlarıyla, rakamları farklı ve 3 ile tam bölünebilen üç basamaklı doğal sayılar oluşturmamız isteniyor.

• 3 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekir.
• Küme Elemanlarının 3'e Göre Kalanları:
  • $R_0$ (3'e bölümünden kalan 0 olanlar): $\{3, 6\}$ (2 eleman)
  • $R_1$ (3'e bölümünden kalan 1 olanlar): $\{1, 4, 7\}$ (3 eleman)
  • $R_2$ (3'e bölümünden kalan 2 olanlar): $\{2, 5\}$ (2 eleman)
• Üç Rakamın Toplamının 3'e Bölünebilmesi İçin Kalan Kombinasyonları:

  Seçilen üç farklı rakamın toplamının 3'e bölünebilmesi için, rakamların 3'e bölümünden kalanlarının toplamı da 3'ün katı olmalıdır. Olası durumlar şunlardır:

  1. Üçü de $R_0$ grubundan: $0+0+0 = 0$.
  2. Üçü de $R_1$ grubundan: $1+1+1 = 3 \equiv 0 \pmod{3}$.
  3. Üçü de $R_2$ grubundan: $2+2+2 = 6 \equiv 0 \pmod{3}$.
  4. Birer tane $R_0, R_1, R_2$ grubundan: $0+1+2 = 3 \equiv 0 \pmod{3}$.
• Durumları İnceleyelim:
  • Durum 1: Üçü de $R_0$ grubundan.

    $R_0 = \{3, 6\}$ kümesinde sadece 2 eleman olduğu için, 3 farklı rakam seçilemez. Bu durumdan sayı gelmez.

  • Durum 2: Üçü de $R_1$ grubundan.

    $R_1 = \{1, 4, 7\}$ kümesinden 3 farklı rakam seçilebilir. Sadece bir tane bu şekilde üçlü kombinasyon vardır: $\{1, 4, 7\}$.

    Bu 3 rakamla oluşturulabilecek rakamları farklı üç basamaklı sayı adedi: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ sayı.

  • Durum 3: Üçü de $R_2$ grubundan.

    $R_2 = \{2, 5\}$ kümesinde sadece 2 eleman olduğu için, 3 farklı rakam seçilemez. Bu durumdan sayı gelmez.

  • Durum 4: Birer tane $R_0, R_1, R_2$ grubundan.
    • $R_0$ kümesinden 1 rakam seçimi: $\binom{2}{1} = 2$ yol (3 veya 6)
    • $R_1$ kümesinden 1 rakam seçimi: $\binom{3}{1} = 3$ yol (1, 4 veya 7)
    • $R_2$ kümesinden 1 rakam seçimi: $\binom{2}{1} = 2$ yol (2 veya 5)

    Toplamda $2 \times 3 \times 2 = 12$ farklı üçlü rakam kombinasyonu seçilebilir.

    Her bir 3'lü kombinasyon için, bu rakamlarla oluşturulabilecek rakamları farklı üç basamaklı sayı adedi: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ sayı.

    Bu durumdan toplam sayı adedi: $12 \times 6 = 72$ sayı.

• Toplam Sayı Adedi:

  Tüm durumlardan gelen sayıların toplamı:

  $6 \text{ (Durum 2'den)} + 72 \text{ (Durum 4'ten)} = 78$ sayı.

Cevap C seçeneğidir.