Alper'in cep telefonu için belirleyeceği şifre, aşağıdaki koşulları sağlamalıdır:
- Dört basamaklı bir doğal sayı olmalı ve rakamları farklı olmalıdır.
- 6 ve 7 rakamları kullanılmayacaktır.
- Şifre 5'in katı olacaktır.
Öncelikle, kullanabileceğimiz rakamları belirleyelim. Toplam 10 rakamdan (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) 6 ve 7'yi çıkardığımızda, geriye 8 rakam kalır:
Kullanılabilir Rakamlar: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9\}$
Şifre dört basamaklı bir sayı ($ABCD$) olsun. Şifrenin 5'in katı olması için son basamağı (D) 0 veya 5 olmalıdır. Bu durumu iki ayrı senaryoda inceleyelim:
1. Durum: Son basamak (D) 0 ise
- D için: Sadece 1 seçenek vardır (0).
- A için: A, ilk basamak olduğu için 0 olamaz. Ayrıca D'de kullanılan 0 da olamaz. Geriye kalan kullanılabilir rakamlardan (0 hariç) 7 seçenek vardır: $\{1, 2, 3, 4, 5, 8, 9\}$.
- B için: B, A ve D'den farklı olmalıdır. Kullanılabilir 8 rakamdan 2'si (A ve D) kullanıldığı için geriye $8 - 2 = 6$ seçenek kalır.
- C için: C, A, B ve D'den farklı olmalıdır. Kullanılabilir 8 rakamdan 3'ü (A, B ve D) kullanıldığı için geriye $8 - 3 = 5$ seçenek kalır.
Bu durumda oluşturulabilecek şifre sayısı: $7 \times 6 \times 5 \times 1 = 210$
2. Durum: Son basamak (D) 5 ise
- D için: Sadece 1 seçenek vardır (5).
- A için: A, ilk basamak olduğu için 0 olamaz. Ayrıca D'de kullanılan 5 de olamaz. Geriye kalan kullanılabilir rakamlardan (0 ve 5 hariç) 6 seçenek vardır: $\{1, 2, 3, 4, 8, 9\}$.
- B için: B, A ve D'den farklı olmalıdır. Kullanılabilir 8 rakamdan 2'si (A ve D) kullanıldığı için geriye $8 - 2 = 6$ seçenek kalır. (Burada 0 rakamı B için kullanılabilir hale gelmiştir.)
- C için: C, A, B ve D'den farklı olmalıdır. Kullanılabilir 8 rakamdan 3'ü (A, B ve D) kullanıldığı için geriye $8 - 3 = 5$ seçenek kalır.
Bu durumda oluşturulabilecek şifre sayısı: $6 \times 6 \times 5 \times 1 = 180$
Toplam farklı şifre sayısı, iki durumdaki şifre sayılarının toplamıdır:
Toplam Şifre Sayısı = $210 + 180 = 390$
Cevap D seçeneğidir.