Verilen küme $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$'tir. Bu kümenin elemanları kullanılarak 345'ten küçük kaç farklı doğal sayı yazılabileceğini bulmalıyız.

Sayıları basamak sayılarına göre inceleyelim:

• 1 Basamaklı Sayılar:

  Kümedeki tüm elemanlar 1 basamaklıdır ve 345'ten küçüktür. Bu sayılar 1, 2, 3, 4, 5'tir.

  Toplam: 5 sayı.

• 2 Basamaklı Sayılar:

  Tüm 2 basamaklı sayılar 345'ten küçüktür.

  Onlar basamağı için 5 seçenek (1, 2, 3, 4, 5).

  Birler basamağı için 5 seçenek (1, 2, 3, 4, 5).

  Toplam: $5 \times 5 = \mathbf{25}$ sayı.

• 3 Basamaklı Sayılar:

  Yazılacak sayının 345'ten küçük olması gerekmektedir. Sayının yüzler basamağına göre inceleyelim:

  • Yüzler basamağı 1 olan sayılar:

    Sayı $1yz$ şeklindedir. Tüm $1yz$ sayıları 345'ten küçüktür.

    Yüzler basamağı için 1 seçenek (1).

    Onlar basamağı için 5 seçenek (1, 2, 3, 4, 5).

    Birler basamağı için 5 seçenek (1, 2, 3, 4, 5).

    Toplam: $1 \times 5 \times 5 = \mathbf{25}$ sayı.

  • Yüzler basamağı 2 olan sayılar:

    Sayı $2yz$ şeklindedir. Tüm $2yz$ sayıları 345'ten küçüktür.

    Yüzler basamağı için 1 seçenek (2).

    Onlar basamağı için 5 seçenek (1, 2, 3, 4, 5).

    Birler basamağı için 5 seçenek (1, 2, 3, 4, 5).

    Toplam: $1 \times 5 \times 5 = \mathbf{25}$ sayı.

  • Yüzler basamağı 3 olan sayılar:

    Sayı $3yz$ şeklindedir. Bu sayılar 345'ten küçük olmalıdır.

    • Onlar basamağı 1, 2 veya 3 olan sayılar:

      Sayı $31z$, $32z$ veya $33z$ şeklindedir. Bu sayılar her zaman 345'ten küçüktür.

      Onlar basamağı için 3 seçenek (1, 2, 3).

      Birler basamağı için 5 seçenek (1, 2, 3, 4, 5).

      Toplam: $3 \times 5 = 15$ sayı.

    • Onlar basamağı 4 olan sayılar:

      Sayı $34z$ şeklindedir. Bu sayılar 345'ten küçük olmalıdır.

      Birler basamağı için 4 seçenek (1, 2, 3, 4). (5 olamaz, çünkü 345, 345'ten küçük değildir.)

      Toplam: $\mathbf{4}$ sayı.

    • Onlar basamağı 5 olan sayılar:

      Sayı $35z$ şeklindedir. Bu sayılar 345'ten büyük olacağı için bu durumda sayı yazılamaz.

    Yüzler basamağı 3 olan toplam sayı: $15 + 4 = \mathbf{19}$ sayı.

  Toplam 3 basamaklı sayı: $25 + 25 + 19 = \mathbf{69}$ sayı.

• 4 veya Daha Fazla Basamaklı Sayılar:

  Kümedeki en küçük eleman 1 olduğu için, yazılabilecek en küçük 4 basamaklı sayı 1111'dir. Bu sayı 345'ten büyüktür. Dolayısıyla 4 veya daha fazla basamaklı 345'ten küçük hiçbir sayı yazılamaz.

Tüm durumları toplayalım:

Toplam sayı = (1 basamaklı sayılar) + (2 basamaklı sayılar) + (3 basamaklı sayılar)

Toplam sayı = $5 + 25 + 69 = \mathbf{99}$

Cevap E seçeneğidir.