Verilen küme $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$'tir. Bu kümenin elemanlarıyla dört basamaklı, rakamları farklı ve 20 ile tam bölünebilen doğal sayılar yazmamız isteniyor.

Bir sayının 20 ile tam bölünebilmesi için hem 4 hem de 5 ile tam bölünmesi gerekir.

• 5 ile bölünebilme kuralı: Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için son basamağının 0 veya 5 olması gerekir.
• 4 ile bölünebilme kuralı: Bir sayının 4 ile tam bölünebilmesi için son iki basamağının oluşturduğu sayının 4'ün katı olması gerekir.

Dört basamaklı sayımız $abcd$ olsun. Rakamları farklı olmalıdır ve $a \neq 0$ olmalıdır.

Adım 1: Son basamağı ($d$) belirleme.

Eğer $d=5$ olsaydı, son iki basamak $c5$ şeklinde olurdu. $A$ kümesindeki rakamlarla $c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ olabilir (çünkü $c \neq d=5$). Hiçbir $c5$ sayısı (05, 15, 25, 35, 45) 4 ile tam bölünmez. Bu nedenle $d \neq 5$ olmalıdır.

O halde, son basamak $d$ kesinlikle 0 olmalıdır.

Sayımız $abc0$ şeklindedir.

Adım 2: Son iki basamağı ($c0$) belirleme.

Sayının 4 ile bölünebilmesi için $c0$ sayısının 4'ün katı olması gerekir. $c$ rakamı $A \setminus \{0\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesinden seçilmelidir (çünkü rakamlar farklı ve $d=0$).

• Eğer $c=1$ ise, $10$ (4'e bölünmez).
• Eğer $c=2$ ise, $20$ (4'e bölünür). Bu durumda $c=2$ olabilir.
• Eğer $c=3$ ise, $30$ (4'e bölünmez).
• Eğer $c=4$ ise, $40$ (4'e bölünür). Bu durumda $c=4$ olabilir.
• Eğer $c=5$ ise, $50$ (4'e bölünmez).

Buna göre, son iki basamak ya 20 ya da 40 olabilir.

Adım 3: İlk iki basamağı ($ab$) belirleme.

Durum 1: Sayı $ab20$ şeklinde ise.

• Kullanılan rakamlar: 0 ve 2.
• Kalan rakamlar $A \setminus \{0, 2\} = \{1, 3, 4, 5\}$.
• $a$ basamağı için: $a \neq 0$ olmalı (dört basamaklı sayı) ve $a \neq 2$ olmalı (rakamlar farklı). Kalan rakamlardan $a$ için 4 seçenek vardır ({1, 3, 4, 5}).
• $b$ basamağı için: $b$ rakamı $a, c=2, d=0$ rakamlarından farklı olmalıdır. $a$ seçildikten sonra kalan 3 rakamdan biri $b$ için seçilebilir. Yani $b$ için 3 seçenek vardır.
• Bu durumda yazılabilecek sayı adedi: $4 \times 3 = 12$.

Durum 2: Sayı $ab40$ şeklinde ise.

• Kullanılan rakamlar: 0 ve 4.
• Kalan rakamlar $A \setminus \{0, 4\} = \{1, 2, 3, 5\}$.
• $a$ basamağı için: $a \neq 0$ olmalı ve $a \neq 4$ olmalı. Kalan rakamlardan $a$ için 4 seçenek vardır ({1, 2, 3, 5}).
• $b$ basamağı için: $b$ rakamı $a, c=4, d=0$ rakamlarından farklı olmalıdır. $a$ seçildikten sonra kalan 3 rakamdan biri $b$ için seçilebilir. Yani $b$ için 3 seçenek vardır.
• Bu durumda yazılabilecek sayı adedi: $4 \times 3 = 12$.

Adım 4: Toplam sayı adedini bulma.

Toplamda yazılabilecek doğal sayı adedi, Durum 1 ve Durum 2'deki sayıların toplamıdır:

$12 + 12 = 24$

Cevap B seçeneğidir.