Sorunun Çözümü
- Toplam soru sayısı hesaplanır: $30 + 10 + 10 + 20 + 10 + 30 = 110$ soru.
- Her sorunun 5 seçeneği vardır.
- "Art arda gelen dört sorunun cevabı aynı olmayacak" kuralı uygulanacaktır.
- Bu tür problemler için durum tabanlı bir yineleme bağıntısı kullanılır.
- $S_n$ toplam $n$ soruyu yanıtlama sayısını ifade etsin.
- $S_n^1$: $a_n \neq a_{n-1}$ olan $n$ uzunluğundaki geçerli dizilerin sayısı.
- $S_n^2$: $a_n = a_{n-1}$ ve $a_{n-1} \neq a_{n-2}$ olan $n$ uzunluğundaki geçerli dizilerin sayısı.
- $S_n^3$: $a_n = a_{n-1} = a_{n-2}$ ve $a_{n-2} \neq a_{n-3}$ olan $n$ uzunluğundaki geçerli dizilerin sayısı.
- Yineleme bağıntıları ($k=5$ seçenek için):
- $S_n^1 = (S_{n-1}^1 + S_{n-1}^2 + S_{n-1}^3) \times (k-1) = S_{n-1} \times 4$
- $S_n^2 = S_{n-1}^1 \times 1$
- $S_n^3 = S_{n-1}^2 \times 1$
- Toplam geçerli dizi sayısı $S_n = S_n^1 + S_n^2 + S_n^3$.
- Bu bağıntılar kullanılarak $S_n$ için genel yineleme bağıntısı elde edilir: $S_n = 4S_{n-1} + 4S_{n-2} + 4S_{n-3}$ ($n \ge 4$ için).
- Başlangıç değerleri:
- $S_1 = 5$ (1. soru için 5 seçenek)
- $S_2 = 5^2 = 25$ (2. soru için 5 seçenek)
- $S_3 = 5^3 = 125$ (3. soru için 5 seçenek)
- $S_4 = 4S_3 + 4S_2 + 4S_1 = 4(125) + 4(25) + 4(5) = 500 + 100 + 20 = 620$. (Bu aynı zamanda $5^4 - 5 = 625 - 5 = 620$ olarak da doğrulanabilir, çünkü 4 ardışık aynı cevap (AAAA, BBBB, vb.) 5 tanedir.)
- Sorunun seçenekleri $X \cdot 2^Y$ şeklinde olduğundan, bu yineleme bağıntısının çözümünün bu formda olması beklenir. Ancak, $r^3 - 4r^2 - 4r - 4 = 0$ karakteristik denkleminin kökleri arasında 2 yoktur. Bu, sorunun ya bir basitleştirmeyi ya da farklı bir yorumu olduğunu düşündürür