Verilen bilgilere göre:

• a ve b birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
• a + b = 20

Bizden a.b çarpımının alabileceği en küçük değer ile en büyük değerin toplamı istenmektedir.

1. a.b çarpımının alabileceği en büyük değeri bulalım:

• İki sayının toplamı sabit olduğunda, çarpımlarının en büyük olması için sayıların birbirine en yakın olması gerekir.
• a + b = 20 ve a ile b birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğundan, a ve b'yi 20'ye en yakın ve farklı olacak şekilde seçmeliyiz.
• Bu durumda a = 9 ve b = 11 (veya tam tersi) seçilebilir.
• En büyük çarpım değeri: \(9 \times 11 = 99\).

2. a.b çarpımının alabileceği en küçük değeri bulalım:

• İki sayının toplamı sabit olduğunda, çarpımlarının en küçük olması için sayıların birbirinden en uzak olması gerekir.
• a ve b pozitif tam sayılar olduğundan, birini mümkün olan en küçük pozitif tam sayı, diğerini ise buna göre en büyük sayı olarak seçmeliyiz.
• a = 1 seçersek, b = 20 - 1 = 19 olur.
• Bu değerler birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
• En küçük çarpım değeri: \(1 \times 19 = 19\).

3. En büyük ve en küçük değerlerin toplamını bulalım:

• En büyük değer = 99
• En küçük değer = 19
• Toplam = \(99 + 19 = 118\).

Cevap C seçeneğidir.