Bu soruyu çözmek için, verilen serinin genel terimini kısmi kesirlere ayırarak bir teleskopik seri oluşturacağız. Bu yöntem, sonsuz serilerin toplamını bulmada oldukça güçlü ve zarif bir yaklaşımdır.

• Adım 1: Genel Terimi Kısmi Kesirlere Ayırma

  Serinin genel terimi \( \frac{1}{n(n+1)} \) şeklindedir. Bu ifadeyi kısmi kesirlere ayırabiliriz:

  \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} \]

  Paydaları eşitlediğimizde:

  \[ 1 = A(n+1) + Bn \]

  \(n=0\) için: \(1 = A(1) \Rightarrow A=1\)

  \(n=-1\) için: \(1 = B(-1) \Rightarrow B=-1\)

  Böylece genel terim şu şekilde yazılabilir:

  \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]
• Adım 2: Kısmi Toplamları (Teleskopik Seri) Yazma

  Serinin \(N\). kısmi toplamı \(S_N\) olsun. Terimleri açtığımızda, birçok terimin birbirini götürdüğünü göreceğiz:

  \[ S_N = \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \] \[ S_N = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{N} - \frac{1}{N+1} \right) \]

  Ortadaki tüm terimler birbirini götürür (teleskopik etki). Geriye sadece ilk ve son terimler kalır:

  \[ S_N = 1 - \frac{1}{N+1} \]
• Adım 3: Sonsuz Serinin Toplamını Bulma

  Sonsuz serinin toplamı, kısmi toplamların \(N \to \infty\) limitidir:

  \[ S = \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{N+1} \right) \]

  \(N \to \infty\) iken, \( \frac{1}{N+1} \to 0 \) olur.

  \[ S = 1 - 0 = 1 \]

Bu seri, klasik bir teleskopik seri örneğidir ve toplamı 1'dir.

Cevap E seçeneğidir.