Devredeki lambaların parlaklıkları, üzerlerinden geçen akımın karesi ($I^2$) veya üzerlerindeki gerilimin karesi ($V^2$) ile doğru orantılıdır, çünkü tüm lambalar özdeş olduğundan dirençleri ($R$) aynıdır. Yani, $P = I^2 R = V^2 / R$. Akımları veya gerilimleri karşılaştırarak parlaklık ilişkisini bulabiliriz.
Devreyi analiz etmek için düğüm potansiyellerini kullanalım:
- Üretecin pozitif ucunun potansiyeli $V_0$ ve negatif ucunun potansiyeli $0$ olsun.
- Devrenin sol ucundaki nokta $V_0$ potansiyelindedir.
- Devrenin sağ ucundaki nokta $0$ potansiyelindedir.
- Üstteki düğüm noktasına $V_T$ diyelim.
- Alttaki düğüm noktasına $V_B$ diyelim.
Devre bağlantılarına göre:
- Sol uçtan $V_B$ noktasına doğrudan bir tel bağlantısı vardır (lamba yok). Bu durumda $V_B = V_0$ olur.
- M lambası $V_B$ ($V_0$) ile sağ uç ($0$) arasına bağlıdır. Dolayısıyla M lambasının üzerindeki gerilim $V_M = V_0$ olur.
- K lambası sol uç ($V_0$) ile $V_T$ arasına bağlıdır.
- L lambası $V_T$ ile sağ uç ($0$) arasına bağlıdır.
- Ortadaki etiketsiz lamba $V_T$ ile $V_B$ ($V_0$) arasına bağlıdır.
Bu durumda devreyi yeniden düzenleyebiliriz:
- M lambası: Doğrudan üretecin uçlarına bağlıdır. Üzerindeki gerilim $V_0$'dır. Akımı: $I_M = V_0 / R$. Gücü: $P_M = V_0^2 / R$.
- K, L ve ortadaki lamba ($R_C$):
- K lambası ($R$) ve ortadaki lamba ($R_C = R$) $V_0$ ile $V_T$ noktaları arasına paralel bağlıdır.
- Bu paralel bağlı kısmın eşdeğer direnci: $R_{K,C} = (R \cdot R) / (R + R) = R^2 / (2R) = R/2$.
- Bu $R_{K,C}$ direnci, L lambası ($R$) ile seri bağlıdır. Bu seri kolun toplam direnci: $R_{kol} = R_{K,C} + R_L = R/2 + R = 3R/2$.
- Bu kolun tamamı üretecin uçlarına bağlıdır (sol uç $V_0$, sağ uç $0$). Dolayısıyla bu koldan geçen toplam akım: $I_{kol} = V_0 / R_{kol} = V_0 / (3R/2) = 2V_0 / (3R)$.
- L lambası bu kolun tamamından geçen akımı taşır. Akımı: $I_L = I_{kol} = 2V_0 / (3R)$. Gücü: $P_L = I_L^2 R = (2V_0 / (3R))^2 R = (4V_0^2 / (9R^2)) R = 4V_0^2 / (9R)$.
- K lambası ve ortadaki lamba paralel bağlı olduğu için $I_{kol}$ akımı aralarında eşit olarak paylaşılır. Akımı: $I_K = I_{kol} / 2 = (2V_0 / (3R)) / 2 = V_0 / (3R)$. Gücü: $P_K = I_K^2 R = (V_0 / (3R))^2 R = (V_0^2 / (9R^2)) R = V_0^2 / (9R)$.
Şimdi lambaların güçlerini (parlaklıklarını) karşılaştıralım:
- $P_M = V_0^2 / R$
- $P_L = 4V_0^2 / (9R)$
- $P_K = V_0^2 / (9R)$
Oranları daha net görmek için $V_0^2 / R$ ifadesini ortak çarpan olarak alalım:
- $P_M = 1 \cdot (V_0^2 / R)$
- $P_L = (4/9) \cdot (V_0^2 / R)$
- $P_K = (1/9) \cdot (V_0^2 / R)$
Görüldüğü üzere $1 > 4/9 > 1/9$ olduğundan, parlaklıklar arasındaki ilişki:
$P_M > P_L > P_K$
Yani, M lambası en parlak, L lambası ortanca, K lambası ise en az parlak yanar.
Cevap E seçeneğidir.