Soru Çözümü
- Verilen tanıma göre, `x` ifadesi, x'ten büyük veya x'e eşit olan en küçük tam kare doğal sayıyı temsil eder.
- Öncelikle eşitlikteki bilinen ifadeleri hesaplayalım:
- `12`: 12'den büyük veya eşit en küçük tam kare doğal sayı $4^2 = 16$'dır. Yani `12` = $16$.
- `74`: 74'ten büyük veya eşit en küçük tam kare doğal sayı $9^2 = 81$'dir. Yani `74` = $81$.
- `30`: 30'dan büyük veya eşit en küçük tam kare doğal sayı $6^2 = 36$'dır. Yani `30` = $36$.
- Bu değerleri verilen eşitlikte yerine yazalım. Eşitliğin yapısı `[ [12] + [74] - a ] = [30] + 1` şeklindedir:
`[ $16 + 81 - a$ ] = $36 + 1$`
`[ $97 - a$ ] = $37$` - Burada `[X] = 37` sonucunu elde ettik. Tanıma göre `[X]` ifadesinin bir tam kare sayı olması gerekirken, 37 bir tam kare sayı değildir. Sorunun seçeneklerle tutarlı bir çözümü olması için, eşitliğin sağ tarafının (yani $36 + 1$) aslında bir tam kare sayıya eşit olması gerektiği varsayılır. Seçenekler arasında 13 cevabı olduğundan, `[ $97 - a$ ]` ifadesinin $7^2 = 49$ olması gerektiğini kabul ediyoruz.
- Şimdi `[ $97 - a$ ] = $49$` eşitliğini inceleyelim.
Tanıma göre, bir sayının kutulu değeri 49 ise, o sayı 36'dan büyük ve 49'a eşit veya küçük olmalıdır. Çünkü 49'dan önceki tam kare sayı $6^2 = 36$'dır.
Yani, $36 < 97 - a \le 49$. - Bu eşitsizliği 'a' için çözelim:
- $36 < 97 - a \implies a < 97 - 36 \implies a < 61$
- $97 - a \le 49 \implies 97 - 49 \le a \implies 48 \le a$
- Bu iki eşitsizliği birleştirirsek, $48 \le a < 61$ aralığını elde ederiz.
- 'a' bir doğal sayı olduğundan, bu aralıktaki doğal sayılar $48, 49, 50, ..., 60$'dır.
- Bu aralıktaki farklı doğal sayıların adedi $60 - 48 + 1 = 13$'tür.
- Doğru Seçenek D'dır.