🎓 9. Sınıf Periyodik Durumlar Test 2 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, periyodik olarak tekrar eden olayları ve bu olayların belirli bir zamandaki veya sıradaki durumunu bulmayı hedefleyen "Modüler Aritmetik" ve "Periyodik Durumlar" konularını kapsamaktadır. Günlük hayatta karşılaştığımız takvim, saat, nöbet, renk dizileri gibi birçok durum bu konunun temelini oluşturur. Bu notlar, sınav öncesi son tekrarınızı yapmanız için özenle hazırlanmıştır. 🚀

1. Modüler Aritmetik ve Periyot Kavramı

• Modüler Aritmetik Nedir? 🔢 Belirli bir sayıya (modül) göre kalanları inceleyen matematik dalıdır. Periyodik durumlar, modüler aritmetiğin en güzel uygulama alanlarından biridir.
• Periyot Nedir? Bir olayın kendini tekrar etmeye başladığı en küçük zaman aralığına veya eleman sayısına denir. Örneğin, haftanın günleri 7 günde bir, saatler 24 saatte bir kendini tekrar eder.
• Kalanlı Bölme İlişkisi: Periyodik durumlarda, bir olayın hangi aşamada olduğunu bulmak için genellikle "kalanlı bölme" işlemi kullanılır. Bir sayıyı periyoda böldüğümüzde elde ettiğimiz kalan, o periyottaki konumumuzu gösterir.
• Gösterim:
  a ≡ b (mod m)
  Bu ifade, "a sayısının m ile bölümünden kalan b'dir" anlamına gelir. Örneğin, 10 ≡ 3 (mod 7) çünkü 10'un 7'ye bölümünden kalan 3'tür.

2. Gün, Saat ve Takvim Problemleri ⏰🗓️

• Haftanın Günleri (Mod 7): Haftanın 7 günü olduğu için, gün problemlerinde periyot 7'dir. Geçen gün sayısını 7'ye bölerek kalana bakarız. Başlangıç gününe kalanı ekleriz.
• Saat Problemleri (Mod 24): Bir gün 24 saat olduğu için, saat problemlerinde periyot 24'tür. Geçen saat sayısını 24'e bölerek kalana bakarız. Başlangıç saatine kalanı ekleriz.
• Dakika Problemleri (Mod 60): Bir saat 60 dakika olduğu için, dakika problemlerinde periyot 60'tır.
• 💡 İpucu: Başlangıç gününü/saatini referans alarak, geçen gün/saat sayısını bulduktan sonra bu sayıyı periyoda bölün ve kalanı başlangıç gününe/saatine ekleyin. Örneğin, Salı günü başlayan bir olayda 30 gün sonra hangi gün olur? 30 mod 7 = 2. Salı + 2 gün = Perşembe.
• ⚠️ Dikkat: Eğer kalan 0 ise, bu periyodun son elemanına (yani 7. gün, 24. saat vb.) denk gelir. Örneğin, Salı günü başlayan bir olayda 7 gün sonra yine Salı olur (7 mod 7 = 0, bu durumda 7. gün Salı'dır).

3. Sıra Belirleme ve N. Elemanı Bulma 🔍

• Dizi ve Örüntüler: Renkler, şekiller, ülkeler gibi belirli bir düzende tekrar eden dizilerde, dizinin periyodunu (kaç elemandan sonra tekrar ettiğini) belirleyin.
• N. Elemanı Bulma: İstenen elemanın sırasını (N) periyoda bölün. Elde ettiğiniz kalan, periyodun hangi elemanına denk geldiğini gösterir.
• 💡 İpucu: Eğer elemanlar 1'den başlayarak numaralandırılmışsa (1. eleman, 2. eleman...), kalan 0 ise periyodun son elemanına denk gelir. Diğer durumlarda kalan doğrudan eleman numarasını verir.
  Örnek: Periyot 5 olan bir renk dizisinde (Mor, Yeşil, Mavi, Kırmızı, Sarı), 101. renk nedir? 101 mod 5 = 1. Kalan 1 olduğu için 1. renk olan Mor'dur.
• ⚠️ Dikkat: Eğer "ilk X. nöbet" gibi bir başlangıç verildiyse ve "Y. nöbet" soruluyorsa, aradaki nöbet sayısını (Y - X) hesaplamayı unutmayın. Bu sayı ile nöbet aralığı çarpılır. Örneğin, 4. nöbeti Perşembe olan hemşirenin 20. nöbeti soruluyorsa, (20 - 4) = 16 nöbet sonraki durumu hesaplarsınız.

4. Birden Fazla Periyodik Olayın Birlikte Tekrarı (EKOK Kullanımı) 🤝

• İki veya daha fazla olayın (örneğin iki kişinin birlikte nöbet tutması, iki otobüsün aynı anda kalkması) ne zaman tekrar birlikte gerçekleşeceğini bulmak için, olayların ayrı ayrı periyotlarının En Küçük Ortak Katı (EKOK) alınır.
• Örnek: Biri 4 günde bir, diğeri 6 günde bir nöbet tutuyorsa, birlikte nöbet tutma periyotları EKOK(4, 6) = 12 günde birdir.
• 💡 İpucu: Birlikte tekrar periyodunu bulduktan sonra, bu yeni periyodu kullanarak diğer periyodik durum problemlerindeki gibi hesaplama yapın (mod 7 veya mod 24 gibi). Örneğin, ilk beraber nöbet Salı ise ve periyot 12 gün ise, sonraki beraber nöbetler 12 gün arayla olacak. 12 mod 7 = 5. Salı + 5 gün = Pazar.

5. Değişen Periyotlar ve Aşamalı Hesaplamalar 🔄

• Bazı durumlarda bir olayın periyodu zamanla değişebilir (örneğin, ilk 5 nöbet 4 günde bir, sonraki nöbetler 6 günde bir).
• Bu tür sorularda, her bir periyot aşamasını ayrı ayrı hesaplayarak toplam geçen zamanı veya toplam tamamlanan işi bulmanız gerekir.
• Adım 1: İlk periyot düzenine göre kaç adım geçeceğini ve bu adımların ne kadar zaman alacağını hesaplayın.
• Adım 2: Kalan adımlar için yeni periyot düzenine geçin ve kalan zamanı/işi hesaplayın.
• Adım 3: Tüm bu zamanları toplayarak toplam geçen süreyi bulun ve ardından modüler aritmetik uygulayın.

6. "En Çok" / "En Az" Problemleri ve Başlangıç Ayarlaması 🎯

• "Belirli bir zaman diliminde X olayının 'en çok' veya 'en az' kaç kez gerçekleştiği" sorulduğunda, başlangıç noktasını stratejik olarak seçmek önemlidir.
• "En Çok" için: Olayın en sık gerçekleştiği gün veya zaman dilimiyle başlayın. Örneğin, C harfiyle başlayan gün sayısı en çok kaç olur sorusunda, periyodun başında Çarşamba olması avantajlıdır.
• "En Az" için: Olayın en az gerçekleştiği gün veya zaman dilimiyle başlayın.
• 💡 İpucu: Periyodu ve periyot içindeki istenen durum sayısını belirleyin. Toplam gün/zaman sayısını periyoda bölerek kaç tam periyot olduğunu ve kalanı bulun. Kalan günleri/zamanları en avantajlı şekilde yerleştirin.

7. İş ve Miktar Hesaplamaları (Periyodik Çalışma Düzeni) 💼💰

• Çalışma saatleri, tatil günleri veya üretilen miktar gibi unsurların periyodik olarak değiştiği durumlarda, öncelikle bir tam periyot içindeki toplam çalışma miktarını/süresini hesaplayın.
• Adım 1: Bir periyotun (örneğin 3 hafta) kaç gün sürdüğünü ve bu periyot içinde ne kadar iş yapıldığını (örneğin kaç gömlek dikildiğini) belirleyin.
• Adım 2: İstenen toplam iş miktarını (örneğin 499 gömlek) bir periyotta yapılan iş miktarına bölün. Bu size kaç tam periyot geçtiğini ve kalan işi verir.
• Adım 3: Tam periyotlar sonunda günün/zamanın ne olduğunu bulun. Kalan işi tamamlamak için yeni bir periyoda başlayarak hangi güne veya zamana denk geldiğini hesaplayın.

8. Görsel Örüntüler ve Tablo Okuma 📊

• Tablolarda veya şekil dizilerinde belirli bir örüntü (siyah karelerin yerleşimi, renklerin sırası vb.) bulunur.
• Örüntüyü Bulma: İlk birkaç elemana bakarak tekrar eden deseni ve bu desenin periyodunu (kaç elemandan oluştuğunu) tespit edin.
• İstenen Konumu Bulma: İstenen sütun veya eleman numarasını periyoda bölerek kalanı bulun. Kalanın, periyodun hangi elemanına karşılık geldiğini dikkatlice belirleyin.
• ⚠️ Dikkat: Kalan 0 olduğunda periyodun son elemanına denk geldiğini unutmayın. Sayma 1'den mi yoksa 0'dan mı başlıyor, buna dikkat edin. Örneğin, 1'den 5'e kadar numaralandırılmış 5 satırlık bir periyotta, sütun numarasını 5'e böldüğünüzde kalan 1 ise 1. satır, kalan 2 ise 2. satır, kalan 3 ise 3. satır, kalan 4 ise 4. satır, kalan 0 ise 5. satır anlamına gelir.

Bu ders notları, "Periyodik Durumlar" konusundaki temel prensipleri ve farklı soru tiplerine yaklaşım stratejilerini özetlemektedir. Bol bol pratik yaparak ve dikkatli okuyarak bu konuya hakim olabilirsiniz. Başarılar dilerim! ✨