Bu problem, bir sayının farklı sayılara bölündüğünde aynı kalanı vermesi durumunu ele almaktadır. Bu tür problemler, en küçük ortak kat (EKOK) kavramı kullanılarak çözülür.

• Adım 1: Problemi matematiksel olarak ifade etme

Torbadaki boncuk sayısına $x$ diyelim. Verilen bilgilere göre:

• Altışarlı gruplara ayrıldığında 4 boncuk artıyor: $x \equiv 4 \pmod{6}$
• Sekizerli gruplara ayrıldığında 4 boncuk artıyor: $x \equiv 4 \pmod{8}$
• Onarlı gruplara ayrıldığında 4 boncuk artıyor: $x \equiv 4 \pmod{10}$

Bu durum, $x-4$ sayısının hem 6'ya, hem 8'e, hem de 10'a tam bölündüğü anlamına gelir. Yani, $x-4$ sayısı 6, 8 ve 10'un ortak bir katıdır.

• Adım 2: En Küçük Ortak Katı (EKOK) bulma

Torbadaki en az boncuk sayısını bulmak için, 6, 8 ve 10 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.

• Sayıların asal çarpanlarına ayrılması:
• $6 = 2 \times 3$
• $8 = 2^3$
• $10 = 2 \times 5$
• EKOK'u bulmak için, tüm asal çarpanların en yüksek üslerini alırız:
• $\text{EKOK}(6, 8, 10) = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$

Bu, $x-4$ sayısının en küçük değerinin 120 olduğu anlamına gelir.

• Adım 3: Boncuk sayısını hesaplama

$x-4 = 120$ eşitliğini kullanarak $x$ değerini buluruz:

$x = 120 + 4$

$x = 124$

Buna göre, torbada en az 124 boncuk vardır.

Cevap B seçeneğidir.