Verilen problemde, A sayısının 20 ile 125 arasında olduğu ve A ile 18 sayılarının en büyük ortak böleninin (EBOB) 6 olduğu belirtilmiştir. Kaç farklı A tam sayısı olduğunu bulmamız gerekiyor.

• EBOB koşulunu inceleyelim:
  \(EBOB(A, 18) = 6\) olması için A sayısı 6'nın bir katı olmalıdır. Yani, \(A = 6k\) şeklinde yazılabilir. Aynı zamanda, 18 sayısı \(6 \times 3\) olarak yazılabilir. EBOB'un 6 olması için, A'yı 6'ya böldüğümüzde elde ettiğimiz \(k\) değeri ile 18'i 6'ya böldüğümüzde elde ettiğimiz 3 sayısının aralarında asal olması gerekir. Yani, \(EBOB(k, 3) = 1\) olmalıdır. Bu da \(k\)'nın 3'ün katı olmaması gerektiği anlamına gelir.
• A'nın aralığını kullanalım:
  \(20 < A < 125\) eşitsizliğinde A yerine \(6k\) yazalım: \(20 < 6k < 125\)
• \(k\) için aralığı bulalım:
  Eşitsizliğin her tarafını 6'ya bölelim: \(\frac{20}{6} < k < \frac{125}{6}\) \(3.33... < k < 20.83...\) Bu durumda, \(k\) tam sayısı 4'ten başlayıp 20'ye kadar değerler alabilir. Yani, \(4 \le k \le 20\).
• Geçerli \(k\) değerlerini belirleyelim:
  \(k\) değerleri 4, 5, 6, ..., 20 olabilir. Bu aralıktaki toplam \(k\) değeri sayısı: \(20 - 4 + 1 = 17\). Ancak, \(k\)'nın 3'ün katı olmaması gerekiyordu (\(EBOB(k, 3) = 1\)). Bu aralıktaki 3'ün katı olan \(k\) değerlerini çıkaralım: \(k \in \{6, 9, 12, 15, 18\}\) Bu aralıkta 3'ün katı olan 5 adet \(k\) değeri vardır.
• Farklı A tam sayısı adedini bulalım:
  Toplam \(k\) değeri sayısından, 3'ün katı olan \(k\) değerlerinin sayısını çıkaralım: \(17 - 5 = 12\) Her bir geçerli \(k\) değeri için bir farklı A tam sayısı bulunur. Dolayısıyla, 12 farklı A tam sayısı vardır.

Cevap A seçeneğidir.