Verilen denklemler şunlardır:

• \(K = 2a + 1\)
• \(K = 3b + 2\)
• \(K = 5c + 4\)

Burada a, b ve c birer pozitif tam sayıdır. K'nın alabileceği en küçük değeri bulmak istiyoruz.

Denklemleri yeniden düzenleyelim:

• \(K - 1 = 2a\) (Yani \(K-1\), 2'nin bir katıdır.)
• \(K - 2 = 3b\) (Yani \(K-2\), 3'ün bir katıdır.)
• \(K - 4 = 5c\) (Yani \(K-4\), 5'in bir katıdır.)

Şimdi, her bir denkleme 1 ekleyelim ve ortak bir ifade bulmaya çalışalım:

• \(K + 1 = 2a + 1 + 1 = 2a + 2 = 2(a+1)\)
• \(K + 1 = 3b + 2 + 1 = 3b + 3 = 3(b+1)\)
• \(K + 1 = 5c + 4 + 1 = 5c + 5 = 5(c+1)\)

Bu durumda, \(K+1\) sayısı hem 2'nin, hem 3'ün, hem de 5'in bir katı olmalıdır. Yani \(K+1\), 2, 3 ve 5 sayılarının ortak katı olmalıdır.

2, 3 ve 5 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulalım:

\(EKOK(2, 3, 5) = 2 \times 3 \times 5 = 30\)

Dolayısıyla, \(K+1\) sayısı 30'un bir katı olmalıdır. Yani \(K+1 = 30n\) şeklinde yazılabilir, burada \(n\) bir pozitif tam sayıdır.

\(K = 30n - 1\)

K'nın en küçük değerini bulmak için \(n\)'ye en küçük pozitif tam sayı değerini, yani 1'i verelim:

\(K = 30(1) - 1 = 29\)

Şimdi, \(K=29\) değeri için a, b ve c'nin pozitif tam sayı olup olmadığını kontrol edelim:

• \(2a + 1 = 29 \implies 2a = 28 \implies a = 14\) (Pozitif tam sayı)
• \(3b + 2 = 29 \implies 3b = 27 \implies b = 9\) (Pozitif tam sayı)
• \(5c + 4 = 29 \implies 5c = 25 \implies c = 5\) (Pozitif tam sayı)

a, b ve c değerleri pozitif tam sayı olduğu için, K'nın alabileceği en küçük değer 29'dur.

Cevap C seçeneğidir.