Verilen problemde, a ve b pozitif tam sayılarının en küçük ortak pozitif katı (EKOK) d olarak tanımlanmıştır. Üç ifadeyi ayrı ayrı inceleyelim:
- I. ifade: \(a^2\) sayısı \(d^2\) sayısını tam böler.
d, a ve b'nin EKOK'u olduğuna göre, a sayısı d'yi tam böler. Yani, d = k \(\cdot\) a olacak şekilde bir k tam sayısı vardır.
Bu eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak:
\[d^2 = (k \cdot a)^2\]
\[d^2 = k^2 \cdot a^2\]
Bu eşitlikten açıkça görülür ki, \(a^2\) sayısı \(d^2\) sayısını tam böler (bölüm \(k^2\) olur). Dolayısıyla, I. ifade daima doğrudur.
- II. ifade: \(b^2\) sayısı d sayısını tam böler.
Bu ifadeyi bir örnekle test edelim.
a = 2 ve b = 4 olsun. Bu durumda EKOK(2, 4) = 4'tür, yani d = 4.
İfadeye göre \(b^2\) sayısı d'yi tam bölmelidir. \(b^2 = 4^2 = 16\).
16 sayısı 4'ü tam böler mi? Hayır, 16 sayısı 4'ü tam bölmez (4/16 = 1/4, tam sayı değil).
Bu örnek, II. ifadenin daima doğru olmadığını gösterir. Dolayısıyla, II. ifade daima doğru değildir.
- III. ifade: a ve b birbirinden farklı asal sayılar ise \(a \cdot b = d\) dir.
İki sayının EKOK'u ile EBOB'unun çarpımı, o iki sayının çarpımına eşittir: \(EKOK(a, b) \cdot EBOB(a, b) = a \cdot b\).
a ve b birbirinden farklı asal sayılar olduğunda, bu sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) 1'dir. Yani, EBOB(a, b) = 1.
Bu durumda eşitliği yerine yazarsak:
\[d \cdot 1 = a \cdot b\]
\[d = a \cdot b\]
Dolayısıyla, III. ifade daima doğrudur.
Yukarıdaki analizlere göre, daima doğru olan ifadeler I ve III'tür.
Cevap C seçeneğidir.