Bu soruyu çözmek için, bir sayının 9 ile bölümünden kalanın, o sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşit olduğu bilgisini kullanacağız.

• Adım 1: A sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulma.

  A doğal sayısının rakamları toplamı 13 olarak verilmiştir. Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

  13 sayısının 9 ile bölümünden kalan:

  $$13 \div 9 = 1 \text{ kalan } 4$$

  Bu durumda, A sayısının 9 ile bölümünden kalan 4'tür. Yani, $A \equiv 4 \pmod 9$.

• Adım 2: Verilen ifadeyi 9 modülüne göre hesaplama.

  Bizden $A^3 + 2A^2 + 4$ sayısının 9 ile bölümünden kalan isteniyor. A yerine 9 ile bölümünden kalanı olan 4'ü koyarak hesaplama yapabiliriz:

  $$A^3 + 2A^2 + 4 \equiv 4^3 + 2(4^2) + 4 \pmod 9$$

• Adım 3: Hesaplamayı tamamlama.

  Şimdi değerleri yerine koyup hesaplayalım:

  • $4^2 = 16$
  • $4^3 = 64$

  İfadeyi yeniden yazalım:

  $$64 + 2(16) + 4 \pmod 9$$

  $$64 + 32 + 4 \pmod 9$$

  $$100 \pmod 9$$

• Adım 4: Son kalanı bulma.

  100 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım:

  $$100 \div 9 = 11 \text{ kalan } 1$$

  Dolayısıyla, $100 \equiv 1 \pmod 9$.

Bu durumda, $A^3 + 2A^2 + 4$ sayısının 9 ile bölümünden kalan 1'dir.

Cevap A seçeneğidir.