Verilen altı basamaklı tek doğal sayı 13A8AB'dir. Bu sayının 55 ile bölümünden kalan 18'dir. A+B toplamını bulmamız isteniyor.

• 1. Bölünebilme Kurallarını Kullanma:

Bir sayının 55 ile bölümünden kalan 18 ise, bu sayı hem 5 hem de 11 ile bölündüğünde belirli kalanları vermelidir. Çünkü $55 = 5 \times 11$.

Verilen sayı N olsun: $N = 13A8AB$.

$N \equiv 18 \pmod{55}$

Bu ifadeyi iki ayrı modüler denklik olarak yazabiliriz:

• $N \equiv 18 \pmod{5}$
• $N \equiv 18 \pmod{11}$
• 2. 5 ile Bölünebilme Kuralı:

$N \equiv 18 \pmod{5} \implies N \equiv 3 \pmod{5}$.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalanın 3 olması için birler basamağı (B) ya 3 ya da 8 olmalıdır.

Soruda sayının tek doğal sayı olduğu belirtilmiştir. Bu durumda birler basamağı (B) tek olmalıdır.

Dolayısıyla, B = 3 olmalıdır.

• 3. 11 ile Bölünebilme Kuralı:

$N \equiv 18 \pmod{11} \implies N \equiv 7 \pmod{11}$ (çünkü $18 = 1 \times 11 + 7$).

13A8AB sayısının 11 ile bölümünden kalanı bulmak için, basamakların sağdan başlayarak (+ - + - ...) işaretli toplamını alırız:

$(B - A + 8 - A + 3 - 1) \equiv 7 \pmod{11}$

$(B - 2A + 10) \equiv 7 \pmod{11}$

B = 3 değerini yerine koyalım:

$(3 - 2A + 10) \equiv 7 \pmod{11}$

$(13 - 2A) \equiv 7 \pmod{11}$

Her iki taraftan 7 çıkaralım:

$(13 - 2A - 7) \equiv 0 \pmod{11}$

$(6 - 2A) \equiv 0 \pmod{11}$

Bu ifade, $(6 - 2A)$'nın 11'in bir katı olması gerektiğini gösterir. A bir rakam olduğu için (0'dan 9'a kadar), $2A$ değeri 0 ile 18 arasında değişir. Bu durumda $(6 - 2A)$ değeri $(6 - 18) = -12$ ile $(6 - 0) = 6$ arasında bir değer alacaktır.

Bu aralıkta 11'in tek katı 0'dır.

Yani, $6 - 2A = 0$ olmalıdır.

$2A = 6$

A = 3

• 4. A+B Toplamı:

A = 3 ve B = 3 bulduğumuza göre, A+B toplamı:

$A + B = 3 + 3 = 6$

Cevap D seçeneğidir.