Verilen sayı 17 basamaklı ve tüm basamakları 4 olan bir sayıdır. Bu sayıyı $N = \underbrace{444...4}_{17}$ olarak gösterelim. Bizden bu sayının 45 ile bölümünden kalanın rakamları toplamı istenmektedir.

• Adım 1: Bölme işlemini parçalara ayırma

45 sayısını asal çarpanlarına ayırırsak $45 = 5 \times 9$ elde ederiz. Bu durumda, sayının 45 ile bölümünden kalanı bulmak için, sayının hem 5 ile hem de 9 ile bölümünden kalanları bulup Çin Kalan Teoremi'ni (veya doğrudan deneme yöntemini) kullanabiliriz.

• Adım 2: Sayının 5 ile bölümünden kalanı bulma

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, sayının birler basamağının 5 ile bölümünden kalana eşittir. $N$ sayısının birler basamağı 4'tür.

Dolayısıyla, $N \equiv 4 \pmod{5}$.

• Adım 3: Sayının 9 ile bölümünden kalanı bulma

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. $N$ sayısı 17 tane 4'ten oluştuğu için rakamları toplamı $17 \times 4 = 68$'dir.

Şimdi 68'in 9 ile bölümünden kalanı bulalım:

$$68 = 7 \times 9 + 5$$

Dolayısıyla, $N \equiv 5 \pmod{9}$.

• Adım 4: Kalanı belirleme

Aradığımız kalan $K$ olsun. $K$ sayısı 45'ten küçük olmalıdır. Yukarıdaki adımlardan $K$ için şu denklikleri elde ettik:

$$K \equiv 4 \pmod{5}$$

$$K \equiv 5 \pmod{9}$$

İlk denklemden $K$'nın 5 ile bölündüğünde 4 kalanını veren sayılar olduğunu biliyoruz. Bu sayılar 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, ... şeklindedir.

Bu sayılardan hangisinin 9 ile bölündüğünde 5 kalanını verdiğini kontrol edelim:

• $4 \pmod{9} = 4$ (Uygun değil)
• $9 \pmod{9} = 0$ (Uygun değil)
• $14 \pmod{9} = 5$ (Uygun!)

Buna göre, sayının 45 ile bölümünden kalan $K = 14$'tür.

• Adım 5: Kalan sayının rakamları toplamını bulma

Kalan sayı 14'tür. Bu sayının rakamları toplamı $1 + 4 = 5$'tir.

Cevap B seçeneğidir.