Bu problem, Çin Kalan Teoremi'nin temel bir uygulamasıdır. Verilen bilgileri matematiksel olarak ifade edelim ve adım adım çözüme ulaşalım.

• Adım 1: Verilen Bilgileri Kongrüans Olarak Yazma

Soruda verilen bilgilere göre, A sayısı için aşağıdaki kongrüanslar geçerlidir:

• $A \equiv 3 \pmod{5}$
• $A \equiv 5 \pmod{11}$

Bizden istenen, A sayısının 55 ile bölümünden kalandır, yani $A \pmod{55}$ değeridir.

• Adım 2: İlk Kongrüansı Kullanarak A'yı İfade Etme

$A \equiv 3 \pmod{5}$ ifadesi, A sayısının 5'in bir katından 3 fazla olduğu anlamına gelir. Yani, bir $k$ tam sayısı için A'yı şu şekilde yazabiliriz:

$A = 5k + 3$

• Adım 3: İkinci Kongrüansı Kullanarak k Değerini Bulma

Şimdi bu ifadeyi ikinci kongrüansa yerleştirelim:

$5k + 3 \equiv 5 \pmod{11}$

Denklemi $k$ için çözelim:

$5k \equiv 5 - 3 \pmod{11}$

$5k \equiv 2 \pmod{11}$

Bu kongrüansı çözmek için, 5'in mod 11'e göre tersini bulmamız veya $k$ yerine değerler deneyerek 2'ye eşit olanı bulmamız gerekir. 5 ile hangi sayıyı çarparsak mod 11'de 2 elde ederiz?

• $5 \times 1 = 5$
• $5 \times 2 = 10$
• $5 \times 3 = 15 \equiv 4$
• $5 \times 4 = 20 \equiv 9$
• $5 \times 5 = 25 \equiv 3$
• $5 \times 6 = 30 \equiv 8$
• $5 \times 7 = 35 \equiv 2$

Görüldüğü gibi, $k=7$ için $5 \times 7 = 35 \equiv 2 \pmod{11}$ sağlanır. Dolayısıyla:

$k \equiv 7 \pmod{11}$

Bu da $k$ sayısının 11'in bir katından 7 fazla olduğu anlamına gelir. Yani, bir $m$ tam sayısı için $k$'yı şu şekilde yazabiliriz:

$k = 11m + 7$

• Adım 4: A Sayısını 55 Cinsinden İfade Etme

Bulduğumuz $k$ değerini, A için yazdığımız ilk ifadeye geri yerleştirelim:

$A = 5k + 3$

$A = 5(11m + 7) + 3$

$A = 55m + 35 + 3$

$A = 55m + 38$

• Adım 5: Sonucu Belirleme

Bu ifadeye göre, A sayısı 55'in bir katından 38 fazladır. Bu da A sayısının 55 ile bölümünden kalanın 38 olduğu anlamına gelir.

$A \equiv 38 \pmod{55}$

Cevap C seçeneğidir.