Verilen beş basamaklı doğal sayı 43A10'dur. Bu sayının rakamları farklı olmalı ve 3 ile tam bölünmelidir.

• 3 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekir.
• Öncelikle sayının bilinen rakamlarını toplayalım: $$4 + 3 + A + 1 + 0$$ $$= 8 + A$$
• Bu toplamın 3'ün katı olması gerekmektedir. A bir rakam olduğu için 0 ile 9 arasında bir değer alabilir.
• A'nın alabileceği değerleri bulalım:
  • Eğer $8 + A = 9$ ise, $A = 1$.
  • Eğer $8 + A = 12$ ise, $A = 4$.
  • Eğer $8 + A = 15$ ise, $A = 7$.
  • Eğer $8 + A = 18$ ise, $A = 10$ (A bir rakam olmalı, bu nedenle bu değer olamaz).
• A'nın olası değerleri 1, 4 ve 7'dir. Şimdi "rakamları farklı" olma koşulunu kontrol edelim. Sayının mevcut rakamları 4, 3, 1, 0'dır.
• Durum 1: Eğer $A = 1$ olsaydı, sayı 43110 olurdu. Bu durumda '1' rakamı tekrar ettiği için rakamları farklı olmazdı. Dolayısıyla $A \neq 1$.
• Durum 2: Eğer $A = 4$ olsaydı, sayı 43410 olurdu. Bu durumda '4' rakamı tekrar ettiği için rakamları farklı olmazdı. Dolayısıyla $A \neq 4$.
• Durum 3: Eğer $A = 7$ olsaydı, sayı 43710 olurdu. Bu durumda sayının rakamları 4, 3, 7, 1, 0 olurdu ve tüm rakamlar birbirinden farklıdır. Bu koşulu sağlar.

Bu durumda, A'nın değeri 7 olmalıdır.

Cevap D seçeneğidir.