Verilen üç basamaklı abc doğal sayısını bulmak için adım adım ilerleyelim.

• 1. Koşul: 25 ile bölündüğünde 13 kalanı vermektedir.
• Bir sayının 25 ile bölümünden kalan 13 ise, sayının son iki basamağı (bc) ya 13, ya 38, ya 63 ya da 88 olmalıdır.
• Yani, \(bc \in \{13, 38, 63, 88\}\).
• 2. Koşul: 4 ile tam bölünmektedir.
• Bir sayının 4 ile tam bölünebilmesi için son iki basamağının (bc) 4'ün katı olması gerekir.
• Yukarıdaki \(bc\) değerlerini kontrol edelim:
• 13, 4'e bölünmez.
• 38, 4'e bölünmez.
• 63, 4'e bölünmez.
• 88, 4'e tam bölünür (88 = 4 x 22).
• Bu durumda, \(bc = 88\) olmalıdır. Yani \(b=8\) ve \(c=8\).
• Sayımız artık \(a88\) şeklindedir.
• 3. Koşul: 11 ile bölündüğünde 2 kalanı vermektedir.
• Bir sayının 11 ile bölümünden kalanı bulmak için, sağdan başlayarak basamakların işaretlerini sırasıyla +, -, + şeklinde değiştirip toplarız.
• \(a88\) sayısı için: \((+8) + (-8) + (+a) = a\).
• Bu toplamın 11 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır.
• Yani, \(a \equiv 2 \pmod{11}\).
• \(a\) bir rakam olduğu ve üç basamaklı sayının ilk basamağı olduğu için \(1 \le a \le 9\) olmalıdır.
• Bu koşulu sağlayan tek \(a\) değeri \(a=2\)'dir.

Bulduğumuz değerleri birleştirelim:

• \(a=2\)
• \(b=8\)
• \(c=8\)

Buna göre, üç basamaklı sayı 288'dir.

Soruda bizden \(a+b+c\) toplamı istenmektedir.

\(a+b+c = 2+8+8 = 18\).

Cevap D seçeneğidir.