Dört basamaklı 3a1b sayısının 45 ile bölümünden kalan 1 ise, bu sayı hem 5 ile bölümünden hem de 9 ile bölümünden kalanı 1 olan bir sayıdır.

• 5 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 5 ile bölümünden kalan 1 ise, birler basamağı (b) ya 1 ya da 6 olmalıdır.
• 9 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 9 ile bölümünden kalan 1 ise, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan 1 olmalıdır.
  3a1b sayısının rakamları toplamı: \(3 + a + 1 + b = 4 + a + b\).
  Bu durumda, \(4 + a + b \equiv 1 \pmod{9}\).
  Denkliği düzenlersek: \(a + b + 3 \equiv 0 \pmod{9}\).
  Yani, \(a + b + 3\) sayısı 9'un bir katı olmalıdır.

Şimdi \(a\) ve \(b\) birer rakam olduğu için \(0 \le a \le 9\) ve \(0 \le b \le 9\) aralığındadır. Bu durumda \(a+b\) toplamı için \(0 \le a+b \le 18\) aralığı geçerlidir.

\(a + b + 3\) ifadesinin 9'un katı olması gerektiğinden, \(a+b\) için olası değerler şunlardır:

• Eğer \(a + b + 3 = 9\) ise, \(a + b = 6\).
• Eğer \(a + b + 3 = 18\) ise, \(a + b = 15\).

Şimdi bu iki olası \(a+b\) değeri için \(b\) değerlerini kontrol edelim:

• Durum 1: \(a + b = 6\)
  • Eğer \(b = 1\) ise, \(a + 1 = 6 \implies a = 5\). (Geçerli bir rakam)
  • Eğer \(b = 6\) ise, \(a + 6 = 6 \implies a = 0\). (Geçerli bir rakam)
  Bu durumda \(a+b\) toplamı 6 olabilir.
• Durum 2: \(a + b = 15\)
  • Eğer \(b = 1\) ise, \(a + 1 = 15 \implies a = 14\). (Geçerli bir rakam değil)
  • Eğer \(b = 6\) ise, \(a + 6 = 15 \implies a = 9\). (Geçerli bir rakam)
  Bu durumda \(a+b\) toplamı 15 olabilir.

Olası \(a+b\) değerleri 6 ve 15'tir. Seçeneklere baktığımızda, 15 değeri seçenekler arasında yer almaktadır.

Cevap E seçeneğidir.