Dört basamaklı $ab3a$ sayısının 12 ile tam bölünebilmesi için hem 3 hem de 4 ile tam bölünmesi gerekir.

• 4 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 4 ile tam bölünebilmesi için son iki basamağının oluşturduğu sayının 4'ün katı olması gerekir.
• $ab3a$ sayısının son iki basamağı $3a$'dır.
• $3a$ sayısının 4'ün katı olması için $a$ yerine gelebilecek rakamlar:
  • $32 \implies a=2$
  • $36 \implies a=6$
• Yani, $a$ rakamı 2 veya 6 olabilir.
• 3 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekir.
• $ab3a$ sayısının rakamları toplamı: $a + b + 3 + a = 2a + b + 3$.
• Şimdi $a$'nın alabileceği değerleri kullanarak $b$'nin alabileceği değerleri bulalım:
• Durum 1: $a=2$ ise
• Rakamlar toplamı: $2(2) + b + 3 = 4 + b + 3 = b + 7$.
• $b+7$ ifadesinin 3'ün katı olması gerekir. $b$ bir rakam (0-9) olduğuna göre:
  • $b=2 \implies 2+7=9$ (3'ün katı)
  • $b=5 \implies 5+7=12$ (3'ün katı)
  • $b=8 \implies 8+7=15$ (3'ün katı)
• Bu durumda $b$, {2, 5, 8} değerlerini alabilir.
• Durum 2: $a=6$ ise
• Rakamlar toplamı: $2(6) + b + 3 = 12 + b + 3 = b + 15$.
• $b+15$ ifadesinin 3'ün katı olması gerekir. $b$ bir rakam (0-9) olduğuna göre:
  • $b=0 \implies 0+15=15$ (3'ün katı)
  • $b=3 \implies 3+15=18$ (3'ün katı)
  • $b=6 \implies 6+15=21$ (3'ün katı)
  • $b=9 \implies 9+15=24$ (3'ün katı)
• Bu durumda $b$, {0, 3, 6, 9} değerlerini alabilir.
• $b$'nin alabileceği farklı değerler:
• Yukarıdaki iki durumdan elde edilen tüm $b$ değerlerini birleştirirsek: {2, 5, 8} $\cup$ {0, 3, 6, 9} = {0, 2, 3, 5, 6, 8, 9}.
• Toplamda 7 farklı değer vardır.

Cevap D seçeneğidir.