Dört basamaklı 72ab sayısının 3 ile bölümünden kalan 1, 5 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, a + b toplamının en çok kaç olduğunu bulalım:

• Bir sayının 5 ile bölümünden kalan 3 ise, birler basamağı (b) 3 veya 8 olmalıdır.
• a+b toplamının en çok olması için b'yi mümkün olduğunca büyük seçmeliyiz. Bu yüzden b = 8 alalım.
• Bir sayının 3 ile bölümünden kalan 1 ise, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalan 1 olmalıdır.
• Rakamlar toplamı: \(7 + 2 + a + b = 9 + a + b\).
• Bu toplamın 3 ile bölümünden kalan 1 olmalı: \(9 + a + b \equiv 1 \pmod{3}\).
• \(9\) sayısı 3'ün katı olduğu için \(9 \equiv 0 \pmod{3}\). Dolayısıyla, \(a + b \equiv 1 \pmod{3}\) olmalıdır.
• b = 8 değerini yerine koyarsak: \(a + 8 \equiv 1 \pmod{3}\).
• \(8 \equiv 2 \pmod{3}\) olduğundan, \(a + 2 \equiv 1 \pmod{3}\).
• Buradan \(a \equiv 1 - 2 \pmod{3}\) yani \(a \equiv -1 \pmod{3}\) veya \(a \equiv 2 \pmod{3}\) elde ederiz.
• 'a' bir rakam olduğu için (0-9), 'a'nın alabileceği değerler 2, 5, 8'dir.
• a+b toplamının en çok olması için 'a'yı en büyük değeri olan 8 seçmeliyiz.
• Bu durumda a = 8 ve b = 8 olur.
• a + b toplamı \(8 + 8 = 16\) olur.
• Eğer b=3 olsaydı, \(a+3 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow a \equiv 1 \pmod{3}\) olurdu. 'a'nın en büyük değeri 7 olurdu. Bu durumda \(a+b = 7+3 = 10\) olurdu ki bu 16'dan küçüktür.
• Dolayısıyla, a+b toplamının en büyük değeri 16'dır.
• Doğru Seçenek D'dır.