Verilen bölme işlemine göre, bölünen, bölen, bölüm ve kalan arasındaki ilişkiyi yazalım:

• Bölünen = 301
• Bölen = \(a\)
• Bölüm = 15
• Kalan = \(b\)

Bölme algoritmasına göre, bu değerler arasında aşağıdaki bağıntı bulunur:

\(301 = a \cdot 15 + b\)

Ayrıca, kalan (\(b\)) için önemli bir koşul vardır: Kalan, bölenden küçük olmalı ve negatif olmamalıdır.

\(0 \le b < a\)

Bizden \(b\)'nin en büyük değeri isteniyor. İlk denklemden \(b\)'yi yalnız bırakalım:

\(b = 301 - 15a\)

Şimdi bu ifadeyi kalan koşulunda yerine yazalım:

\(0 \le 301 - 15a < a\)

Bu eşitsizliği iki parçaya ayıralım:

1. Eşitsizlik: \(301 - 15a \ge 0\)

\(301 \ge 15a\)

\(a \le \frac{301}{15}\)

\(a \le 20.06...\)

2. Eşitsizlik: \(301 - 15a < a\)

\(301 < 16a\)

\(a > \frac{301}{16}\)

\(a > 18.8125\)

Her iki eşitsizliği birleştirdiğimizde, \(a\) için aşağıdaki aralığı buluruz:

\(18.8125 < a \le 20.06...\)

\(a\) bir doğal sayı olduğuna göre, bu aralıktaki doğal sayı değerleri 19 ve 20'dir.

Yani, \(a \in \{19, 20\}\).

\(b = 301 - 15a\) ifadesinde \(b\)'nin en büyük değerini bulmak için, \(15a\)'nın en küçük değerini alması gerekir. Bu da \(a\)'nın en küçük değerini alması demektir.

\(a\) için mümkün olan en küçük değer 19'dur.

\(a = 19\) için \(b\)'yi hesaplayalım:

\(b = 301 - 15 \cdot 19\)

\(b = 301 - 285\)

\(b = 16\)

Şimdi \(a=19\) ve \(b=16\) değerlerinin koşulları sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:

• \(a\) ve \(b\) doğal sayıdır (19 ve 16 doğal sayıdır). (✓)
• \(0 \le b < a\) koşulu sağlanıyor mu? \(0 \le 16 < 19\). Evet, sağlanıyor. (✓)

Bu durumda, \(b\)'nin alabileceği en büyük değer 16'dır.

Eğer \(a=20\) olsaydı, \(b = 301 - 15 \cdot 20 = 301 - 300 = 1\) olurdu. Bu değer de geçerlidir (\(1 < 20\)), ancak 16'dan küçüktür.

Bu nedenle, \(b\)'nin en çok alabileceği değer 16'dır.

Cevap A seçeneğidir.