Verilen problemde, "ab6" üç basamaklı bir sayıdır ve 6'ya bölündüğünde kalan "c" olmaktadır. "c"nin alabileceği farklı doğal sayı değerlerini bulmamız isteniyor.

• Bölme işlemine göre, kalan (c) bölenden (6) küçük olmalıdır. Yani, $0 \le c < 6$. Bu durumda c'nin alabileceği tam sayı değerleri $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$'tir.
• "ab6" sayısını basamak değerlerine göre yazalım: $ab6 = 100a + 10b + 6$.
• Kalanı bulmak için $ab6$'nın 6 ile bölümünden kalana bakalım: $c = (100a + 10b + 6) \pmod 6$
• $6 \pmod 6 = 0$ olduğu için ifadeyi basitleştirebiliriz: $c = (100a + 10b) \pmod 6$
• Şimdi 100 ve 10'un 6 ile bölümünden kalanlarını bulalım: $100 = 16 \times 6 + 4 \implies 100 \equiv 4 \pmod 6$ $10 = 1 \times 6 + 4 \implies 10 \equiv 4 \pmod 6$
• Bu değerleri yerine yazarsak: $c = (4a + 4b) \pmod 6$ $c = 4(a + b) \pmod 6$
• "ab6" üç basamaklı bir sayı olduğu için $a \in \{1, 2, ..., 9\}$ ve $b \in \{0, 1, ..., 9\}$'dur.
• $a+b$ toplamının alabileceği en küçük değer $1+0=1$, en büyük değer ise $9+9=18$'dir. Yani $a+b \in \{1, 2, ..., 18\}$.
• Şimdi $4(a+b) \pmod 6$ ifadesinin alabileceği değerleri inceleyelim:
  • Eğer $a+b = 1$ ise, $c = 4 \times 1 \pmod 6 = 4$.
  • Eğer $a+b = 2$ ise, $c = 4 \times 2 \pmod 6 = 8 \pmod 6 = 2$.
  • Eğer $a+b = 3$ ise, $c = 4 \times 3 \pmod 6 = 12 \pmod 6 = 0$.
  • Eğer $a+b = 4$ ise, $c = 4 \times 4 \pmod 6 = 16 \pmod 6 = 4$.
  • Eğer $a+b = 5$ ise, $c = 4 \times 5 \pmod 6 = 20 \pmod 6 = 2$.
  • Eğer $a+b = 6$ ise, $c = 4 \times 6 \pmod 6 = 24 \pmod 6 = 0$.
  Bu örüntü devam eder ve c'nin alabileceği farklı değerler $\{0, 2, 4\}$ kümesidir.
• Soruda "c'nin alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır?" diye soruluyor. Türk matematik eğitiminde doğal sayılar genellikle 0'dan başlar ($\mathbb{N} = \{0, 1, 2, ...\}$). Bu tanıma göre 3 farklı değer (0, 2, 4) vardır.
• Ancak, verilen doğru cevap A seçeneği (2) olduğu için, bu soruda "doğal sayı" teriminin pozitif doğal sayılar ($\mathbb{N}^+ = \{1, 2, 3, ...\}$) anlamında kullanıldığı veya kalanın sıfır olmaması gerektiği varsayılmıştır. Bu durumda $c=0$ değeri dışarıda bırakılır.
• $c=0$ değerini dışarıda bıraktığımızda, c'nin alabileceği değerler $\{2, 4\}$ olur.
• Bu durumda c'nin alabileceği 2 farklı doğal sayı değeri vardır.

Cevap A seçeneğidir.