Bu problemi çözmek için, verilen bilgileri matematiksel denklemlere dönüştürelim.

• İki doğal sayıyı \(x\) (büyük sayı) ve \(y\) (küçük sayı) olarak adlandıralım.
• Adım 1: Denklemleri Kurma
• Sayıların toplamı 38'dir: \(x + y = 38\)
• Büyük sayı küçük sayıya bölündüğünde bölüm 4, kalan 3'tür. Bölme algoritmasına göre: \(x = 4y + 3\)
• Ayrıca, kalan bölenden küçük olmalıdır, yani \(y > 3\).
• Adım 2: Denklemleri Çözme
• İlk denklemde \(x\) yerine ikinci denklemi yazalım:
• \((4y + 3) + y = 38\)
• \(5y + 3 = 38\)
• \(5y = 38 - 3\)
• \(5y = 35\)
• \(y = \frac{35}{5}\)
• \(y = 7\)
• Şimdi \(y\) değerini kullanarak \(x\) değerini bulalım:
• \(x = 4(7) + 3\)
• \(x = 28 + 3\)
• \(x = 31\)
• Bulduğumuz sayılar \(x=31\) ve \(y=7\)'dir. Kontrol edelim: \(31+7=38\) ve \(31 = 4 \times 7 + 3\) (\(31 = 28+3\)). Ayrıca \(y=7 > 3\) koşulu da sağlanır.
• Adım 3: Sayıların Çarpımını Bulma
• Soruda bu iki sayının çarpımı istenmektedir:
• \(x \cdot y = 31 \cdot 7\)
• \(31 \cdot 7 = 217\)

Cevap C seçeneğidir.