Sorunun Çözümü
- x değerlerini belirleyelim: `x6y` üç basamaklı olduğundan $x \neq 0$. `x` ve `6` aralarında asal olduğundan `x` çift sayı veya 3'ün katı olamaz. Rakamlar farklı olduğundan $x \neq 6$. Bu durumda $x \in \{1, 5, 7\}$ olabilir.
- y değerlerini belirleyelim: `6` ve `y` aralarında asal olduğundan `y` çift sayı veya 3'ün katı olamaz. Rakamlar farklı olduğundan $y \neq 6$. `y=0` için gcd(6,0)=6 olduğundan aralarında asal değildir. Bu durumda $y \in \{1, 5, 7\}$ olabilir.
- Rakamların farklı olması koşulu: `x`, `6`, `y` birbirinden farklı olmalıdır. `x` ve `y` için bulduğumuz değerler `6`'dan farklıdır. Ayrıca $x \neq y$ olmalıdır.
- $x6 < 6y$ koşulunu uygulayalım: Bu ifade $10x + 6 < 60 + y$ anlamına gelir, yani $10x - y < 54$.
- Eğer $x = 1$:
- $y = 5$ için: $10(1) - 5 = 5$. $5 < 54$ (sağlar). Rakamlar $(1, 6, 5)$ farklıdır. Sayı: $165$.
- $y = 7$ için: $10(1) - 7 = 3$. $3 < 54$ (sağlar). Rakamlar $(1, 6, 7)$ farklıdır. Sayı: $167$.
- Eğer $x = 5$:
- $y = 1$ için: $10(5) - 1 = 49$. $49 < 54$ (sağlar). Rakamlar $(5, 6, 1)$ farklıdır. Sayı: $561$.
- $y = 7$ için: $10(5) - 7 = 43$. $43 < 54$ (sağlar). Rakamlar $(5, 6, 7)$ farklıdır. Sayı: $567$.
- Eğer $x = 7$:
- $y = 1$ için: $10(7) - 1 = 69$. $69 < 54$ (sağlamaz).
- $y = 5$ için: $10(7) - 5 = 65$. $65 < 54$ (sağlamaz).
- Eğer $x = 1$:
- Yukarıdaki koşulları sağlayan `x6y` sayıları $165, 167, 561, 567$'dir. Toplam 4 farklı değer alabilir.
- Doğru Seçenek D'dır.