Sorunun Çözümü
- Fındık sayısına $x$ diyelim.
- Sorudaki bilgilere göre denklemleri yazalım:
- $x \equiv 2 \pmod{5}$
- $x \equiv 3 \pmod{6}$
- $x < 99$
- Her iki denkleme de 3 eklersek:
- $x+3 \equiv 2+3 \pmod{5} \implies x+3 \equiv 5 \pmod{5} \implies x+3 \equiv 0 \pmod{5}$
- $x+3 \equiv 3+3 \pmod{6} \implies x+3 \equiv 6 \pmod{6} \implies x+3 \equiv 0 \pmod{6}$
- Bu durumda, $x+3$ sayısı hem 5'in hem de 6'nın bir katıdır. Yani, $x+3$, $\operatorname{EKOK}(5, 6)$'nın bir katıdır.
- $\operatorname{EKOK}(5, 6) = 30$'dur.
- O halde, $x+3 = 30k$ şeklinde yazılabilir ($k$ bir tam sayı).
- $x = 30k - 3$ olur.
- $x < 99$ koşulunu kullanarak $k$ değerlerini bulalım:
- $30k - 3 < 99$
- $30k < 102$
- $k < \frac{102}{30} \implies k < 3.4$
- $k$ bir pozitif tam sayı olduğundan, $k$ değerleri $1, 2, 3$ olabilir.
- $x$'in alabileceği değerler:
- $k=1 \implies x = 30(1) - 3 = 27$
- $k=2 \implies x = 30(2) - 3 = 57$
- $k=3 \implies x = 30(3) - 3 = 87$
- Fındık sayısı en çok istendiği için, $x$'in en büyük değeri $87$'dir.
- Doğru Seçenek A'dır.