Sorunun Çözümü
- İki dikdörtgenin ortak kenarına \(x\) diyelim. Şekilde bu kenar \(|CD|\)'dir.
- Mavi dikdörtgenin (ABCD) alanı 108 m\(^2\). Kenarları \(|AD|\) ve \(|CD|\)'dir. Bu durumda \(|AD| \cdot x = 108 \Rightarrow |AD| = \frac{108}{x}\).
- Pembe dikdörtgenin (DCFE) alanı 90 m\(^2\). Kenarları \(|DE|\) ve \(|CD|\)'dir. Bu durumda \(|DE| \cdot x = 90 \Rightarrow |DE| = \frac{90}{x}\).
- Kenar uzunlukları birer doğal sayı olduğu için \(x\), 108 ve 90'ın ortak böleni olmalıdır. 108 ve 90'ın ortak bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18'dir.
- Soruda verilen koşul \(|DC| < |DE|\)'dir. Yani \(x < \frac{90}{x}\). Bu eşitsizliği düzenlersek \(x^2 < 90\) olur.
- Ortak bölenleri bu koşula göre inceleyelim:
- \(x=1 \Rightarrow 1^2 = 1 < 90\) (Geçerli)
- \(x=2 \Rightarrow 2^2 = 4 < 90\) (Geçerli)
- \(x=3 \Rightarrow 3^2 = 9 < 90\) (Geçerli)
- \(x=6 \Rightarrow 6^2 = 36 < 90\) (Geçerli)
- \(x=9 \Rightarrow 9^2 = 81 < 90\) (Geçerli)
- \(x=18 \Rightarrow 18^2 = 324\). \(324 < 90\) yanlış olduğu için \(x=18\) geçersizdir.
- A ile E noktaları arasındaki uzaklık \(|AE| = |AD| + |DE|\)'dir. Yani \(|AE| = \frac{108}{x} + \frac{90}{x} = \frac{198}{x}\).
- \(|AE|\) uzaklığının en az olması için \(x\)'in mümkün olan en büyük değeri alması gerekir. Geçerli \(x\) değerleri arasından en büyüğü 9'dur.
- \(x=9\) için \(|AE| = \frac{198}{9} = 22\) metre bulunur.
- Kontrol edelim: \(x=9\) için \(|AD| = \frac{108}{9} = 12\) ve \(|DE| = \frac{90}{9} = 10\). Kenarlar doğal sayı ve \(|DC|=9 < |DE|=10\) koşulu sağlanır.
- Doğru Seçenek C'dır.