Sorunun Çözümü
- Verilen şifre formatı A($x_1 2$), B($7 5$), C($x_2 3$), D($x_3 x_4$) şeklindedir.
- Kullanılan rakamlar 2, 7, 5, 3'tür. 0 ve 9 dışındaki diğer rakamlar birer kez kullanılmalıdır. Kalan rakamlar $\{1, 4, 6, 8\}$'dir.
- B sayısı $75$'tir. $75 = 3 \times 5^2$. Bu nedenle A, C ve D sayıları 3 veya 5 ile bölünmemelidir.
- A için olası değerler:
- $x_1=1 \Rightarrow A=12$. $gcd(12, 75) = 3 \neq 1$. Geçersiz.
- $x_1=4 \Rightarrow A=42$. $gcd(42, 75) = 3 \neq 1$. Geçersiz.
- $x_1=6 \Rightarrow A=62$. $gcd(62, 75) = 1$. Geçerli.
- $x_1=8 \Rightarrow A=82$. $gcd(82, 75) = 1$. Geçerli.
- Durum 1: A = 62 (Kalan rakamlar $\{1, 4, 8\}$)
- C için olası değerler ($x_2 \in \{1, 4, 8\}$):
- $x_2=1 \Rightarrow C=13$. $gcd(13, 75)=1$, $gcd(13, 62)=1$. Geçerli. Kalan rakamlar $\{4, 8\}$. D için $48$ veya $84$ olabilir. $D=48 \Rightarrow gcd(48, 75)=3 \neq 1$. Geçersiz. $D=84 \Rightarrow gcd(84, 75)=3 \neq 1$. Geçersiz.
- $x_2=4 \Rightarrow C=43$. $gcd(43, 75)=1$, $gcd(43, 62)=1$. Geçerli. Kalan rakamlar $\{1, 8\}$. D için $18$ veya $81$ olabilir. $D=18 \Rightarrow gcd(18, 75)=3 \neq 1$. Geçersiz. $D=81 \Rightarrow gcd(81, 75)=3 \neq 1$. Geçersiz.
- $x_2=8 \Rightarrow C=83$. $gcd(83, 75)=1$, $gcd(83, 62)=1$. Geçerli. Kalan rakamlar $\{1, 4\}$. D için $14$ veya $41$ olabilir. $D=14 \Rightarrow gcd(14, 62)=2 \neq 1$. Geçersiz. $D=41 \Rightarrow gcd(41, 62)=1$, $gcd(41, 75)=1$, $gcd(41, 83)=1$. Geçerli. Birinci çözüm: (62, 75, 83, 41).
- C için olası değerler ($x_2 \in \{1, 4, 8\}$):
- Durum 2: A = 82 (Kalan rakamlar $\{1, 4, 6\}$)
- C için olası değerler ($x_2 \in \{1, 4, 6\}$):
- $x_2=1 \Rightarrow C=13$. $gcd(13, 75)=1$, $gcd(13, 82)=1$. Geçerli. Kalan rakamlar $\{4, 6\}$. D için $46$ veya $64$ olabilir. $D=46 \Rightarrow gcd(46, 82)=2 \neq 1$. Geçersiz. $D=64 \Rightarrow gcd(64, 82)=2 \neq 1$. Geçersiz.
- $x_2=4 \Rightarrow C=43$. $gcd(43, 75)=1$, $gcd(43, 82)=1$. Geçerli. Kalan rakamlar $\{1, 6\}$. D için $16$ veya $61$ olabilir. $D=16 \Rightarrow gcd(16, 82)=2 \neq 1$. Geçersiz. $D=61 \Rightarrow gcd(61, 82)=1$, $gcd(61, 75)=1$, $gcd(61, 43)=1$. Geçerli. İkinci çözüm: (82, 75, 43, 61).
- $x_2=6 \Rightarrow C=63$. $gcd(63, 75)=3 \neq 1$. Geçersiz.
- C için olası değerler ($x_2 \in \{1, 4, 6\}$):
- Toplamda 2 farklı şifre oluşturulabilir.
- Doğru Seçenek A'dır.