Sorunun Çözümü
- Pekmezlerin doldurulacağı en büyük eşit hacimli kapların kapasitesi, $75$ litre ve $40$ litrenin en büyük ortak böleni (EBOB) ile bulunur. $EBOB(75, 40) = 5$ litredir. Yani her kap $5$ litre pekmez alır.
- I. kalite pekmezden $75 \text{ litre} / 5 \text{ litre/kap} = 15$ kap, II. kalite pekmezden $40 \text{ litre} / 5 \text{ litre/kap} = 8$ kap elde edilir.
- I. kalite pekmezin bir kabının fiyatı $5 \text{ litre} \times 18 \text{ lira/litre} = 90$ lira, II. kalite pekmezin bir kabının fiyatı $5 \text{ litre} \times 14 \text{ lira/litre} = 70$ liradır.
- Gülsen Hanım, I. kaliteden $x$ kap ve II. kaliteden $y$ kap almış olsun. Koşullara göre $1 \le x \le 15$ ve $1 \le y \le 8$ olmalıdır. Ödediği toplam tutar $T = 90x + 70y = 10(9x + 7y)$ liradır.
- Gülsen Hanım $400$ lira verdiğine göre, para üstü $P$ ise, ödenen tutar $T = 400 - P$ olur. $T$ değeri $10$'un katı olmalıdır.
- Seçenekleri kontrol edelim:
- A) Para üstü $30$ lira: Ödenen tutar $T = 400 - 30 = 370$ lira. Bu durumda $9x + 7y = 37$ olmalıdır. $y=4$ için $9x + 7(4) = 37 \implies 9x = 9 \implies x = 1$. ($x=1, y=4$) koşulları sağlar. Bu tutar mümkündür.
- B) Para üstü $40$ lira: Ödenen tutar $T = 400 - 40 = 360$ lira. Bu durumda $9x + 7y = 36$ olmalıdır. $y$ değerleri ($1$ den $8$'e kadar) için $9x = 36 - 7y$ ifadesinin $9$'un katı olan pozitif bir tam sayı olması gerekir. Hiçbir $y$ değeri için $36 - 7y$ ifadesi $9$'un katı olan pozitif bir tam sayı vermez (örneğin $y=1 \implies 9x=29$, $y=2 \implies 9x=22$, $y=3 \implies 9x=15$, $y=4 \implies 9x=8$, $y=5 \implies 9x=1$). Bu tutar mümkün değildir.
- C) Para üstü $60$ lira: Ödenen tutar $T = 400 - 60 = 340$ lira. Bu durumda $9x + 7y = 34$ olmalıdır. $y=1$ için $9x + 7(1) = 34 \implies 9x = 27 \implies x = 3$. ($x=3, y=1$) koşulları sağlar. Bu tutar mümkündür.
- D) Para üstü $80$ lira: Ödenen tutar $T = 400 - 80 = 320$ lira. Bu durumda $9x + 7y = 32$ olmalıdır. $y=2$ için $9x + 7(2) = 32 \implies 9x = 18 \implies x = 2$. ($x=2, y=2$) koşulları sağlar. Bu tutar mümkündür.
- Doğru Seçenek B'dır.