Sorunun Çözümü
Verilen devirli ondalık sayıların açılımları incelenir:
- Birinci sayı:
$0,\overline{1234} = 0,123412341234...$
Bu sayının devreden kısmı 1234 olup, basamak uzunluğu 4'tür. - İkinci sayı:
$0,\overline{654} = 0,654654654654...$
Bu sayının devreden kısmı 654 olup, basamak uzunluğu 3'tür. - Virgülden sonraki kısımda aynı rakamların tekrar alt alta gelmesi için, geçen basamak sayısının her iki devreden kısmın uzunluğunun ortak katı olması gerekir.
- İlk kez alt alta geldikten sonra tekrar alt alta gelmeleri için geçmesi gereken en az basamak sayısı, bu uzunlukların en küçük ortak katı (EKOK) olacaktır.
- EKOK(4, 3) hesaplanır. 4 ve 3 aralarında asal sayılar olduğu için EKOK'ları çarpımlarına eşittir.
- EKOK(4, 3) = $4 \times 3 = 12$.
- Yani, aynı rakamlar ilk kez alt alta geldikten en az 12 basamak sonra bu rakamlar tekrar alt alta gelir.
- Doğru Seçenek A'dır.