Sorunun Çözümü
- $K = a \cdot b^3$ ifadesinde $a$ ve $b$ birbirinden farklı asal sayılardır. K'nin en küçük üç basamaklı sayı olması isteniyor.
- K'yi en küçük yapmak için $b$ asal sayısını mümkün olduğunca küçük seçmeliyiz, çünkü küpü alınmaktadır.
- En küçük asal sayılar $2, 3, 5, \dots$ şeklindedir.
- Durum 1: $b=2$ olsun.
- $b^3 = 2^3 = 8$ olur.
- $a \ne b$ olduğundan $a \ne 2$ olmalıdır. $a$'yı en küçük asal sayılardan başlayarak deneriz.
- $a=3 \Rightarrow K = 3 \cdot 8 = 24$ (iki basamaklı)
- $a=5 \Rightarrow K = 5 \cdot 8 = 40$ (iki basamaklı)
- $a=7 \Rightarrow K = 7 \cdot 8 = 56$ (iki basamaklı)
- $a=11 \Rightarrow K = 11 \cdot 8 = 88$ (iki basamaklı)
- $a=13 \Rightarrow K = 13 \cdot 8 = 104$ (üç basamaklı, bu durum için en küçük K)
- Durum 2: $b=3$ olsun.
- $b^3 = 3^3 = 27$ olur.
- $a \ne b$ olduğundan $a \ne 3$ olmalıdır. $a$'yı en küçük asal sayılardan başlayarak deneriz.
- $a=2 \Rightarrow K = 2 \cdot 27 = 54$ (iki basamaklı)
- $a=5 \Rightarrow K = 5 \cdot 27 = 135$ (üç basamaklı, bu durum için en küçük K)
- Durum 3: $b=5$ olsun.
- $b^3 = 5^3 = 125$ olur.
- $a \ne b$ olduğundan $a \ne 5$ olmalıdır. $a$'yı en küçük asal sayılardan başlayarak deneriz.
- $a=2 \Rightarrow K = 2 \cdot 125 = 250$ (üç basamaklı, bu durum için en küçük K)
- Bulduğumuz üç basamaklı K değerlerini karşılaştıralım: $104$, $135$, $250$.
- Bu değerler arasında en küçüğü $104$'tür.
- Doğru Seçenek C'dır.