Verilen kümeler:

• \(A = \{a, b, c, d\}\)
• \(B = \{1, 2, 3\}\)

Adım 1: A ve B kümelerinin eleman sayılarını bulalım.

• \(|A| = 4\)
• \(|B| = 3\)

Adım 2: AxB kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını bulalım.

• \(|A \times B| = |A| \times |B| = 4 \times 3 = 12\)

AxB kümesi 12 elemanlıdır. Bir kümenin alt küme sayısı \(2^{\text{eleman sayısı}}\) formülüyle bulunur.

Adım 3: Alt kümeler için verilen koşulları inceleyelim.

Bizden istenen alt kümeler:

• (a,1) elemanını içermeli.
• (d,2) elemanını içermeli.
• (a,3) elemanını içermemeli.

Bu üç elemanın alt kümede bulunup bulunmayacağı kesin olarak belirlenmiştir. Yani bu elemanlar için seçim hakkımız yoktur.

• (a,1) $\rightarrow$ Alt kümede olacak (1 durum)
• (d,2) $\rightarrow$ Alt kümede olacak (1 durum)
• (a,3) $\rightarrow$ Alt kümede olmayacak (1 durum)

Adım 4: Geriye kalan eleman sayısını bulalım.

Toplam 12 elemandan 3 tanesinin durumu belirlenmiştir. Geriye kalan eleman sayısı:

• \(12 - 3 = 9\)

Bu 9 elemanın her biri için alt kümede bulunma veya bulunmama olmak üzere 2 seçeneğimiz vardır.

Adım 5: Koşulları sağlayan alt küme sayısını hesaplayalım.

Geriye kalan 9 eleman için \(2^9\) farklı seçim yapılabilir. Bu da koşulları sağlayan alt küme sayısını verir.

• Alt küme sayısı = \(2^9\)

Cevap C seçeneğidir.