Adım 1: Verilen Bilgileri Tanımlayalım ve Kümeleri Belirleyelim.

• Sınıf mevcudu: 32 kişi.
• Kümeler: İngilizce (I), Fransızca (F), Almanca (A).
• "İngilizce konuşabilen herkes Fransızca konuşabilmekte fakat Almanca konuşamamaktadır."
  • Bu ifade, İngilizce kümesinin Fransızca kümesinin bir alt kümesi olduğunu ($I \subset F$) ve İngilizce ile Almanca kümelerinin kesişiminin boş küme olduğunu ($I \cap A = \emptyset$) gösterir.
• "İngilizce konuşabilen 8 kişi bulunmaktadır."
  • $|I| = 8$.
  • $I \subset F$ olduğundan, bu 8 kişi hem İngilizce hem Fransızca konuşur. Dolayısıyla $|I \cap F| = 8$.
  • $I \cap A = \emptyset$ olduğundan, bu 8 kişi Almanca konuşmaz. Yani, sadece İngilizce ve Fransızca konuşan kişi sayısı 8'dir ($|I \cap F \setminus A| = 8$).

Adım 2: Tam Olarak İki Dil Konuşan Kişi Sayısını Bulalım.

• "İki dil konuşabilenlerin sayısı, hem İngilizce hem de Fransızca konuşabilenlerin sayısının 2 katından 3 eksiktir."
• "Hem İngilizce hem de Fransızca konuşabilenler" sayısı $|I \cap F| = 8$'dir.
• Tam olarak iki dil konuşan kişi sayısı: $2 \times 8 - 3 = 16 - 3 = 13$.
• Tam olarak iki dil konuşanlar şunlardır:
  • Sadece İngilizce ve Fransızca konuşanlar (Almanca bilmeyenler): $|I \cap F \setminus A| = 8$.
  • Sadece İngilizce ve Almanca konuşanlar (Fransızca bilmeyenler): $|I \cap A \setminus F|$. $I \cap A = \emptyset$ olduğundan bu sayı 0'dır.
  • Sadece Fransızca ve Almanca konuşanlar (İngilizce bilmeyenler): $|F \cap A \setminus I|$.
• Bu durumda, $8 + 0 + |F \cap A \setminus I| = 13$ denklemini elde ederiz.
• Buradan, $|F \cap A \setminus I| = 13 - 8 = 5$ kişi bulunur. Bu kişiler Fransızca ve Almanca konuşur ama İngilizce konuşmaz.

Adım 3: Yalnız Dil Konuşanları Tanımlayalım.

• "Yalnız Almanca konuşabilenlerin sayısı, yalnız Fransızca konuşabilenlerin sayısından 2 eksiktir."
• Yalnız Fransızca konuşanların sayısına $x$ diyelim: $|F \setminus (I \cup A)| = x$.
• Yalnız Almanca konuşanların sayısı: $|A \setminus (I \cup F)| = x - 2$.

Adım 4: Tüm Grupları Toplayarak Sınıf Mevcudunu Hesaplayalım.

• Sınıftaki tüm kişiler, aşağıdaki ayrık grupların toplamıdır:
  • Yalnız Fransızca konuşanlar: $x$
  • Yalnız Almanca konuşanlar: $x-2$
  • Sadece İngilizce ve Fransızca konuşanlar (Almanca bilmeyenler): 8
  • Sadece Fransızca ve Almanca konuşanlar (İngilizce bilmeyenler): 5
  • Diğer tüm kesişimler ($I \cap A$, $I \cap F \cap A$) $I \cap A = \emptyset$ olduğu için 0'dır.
  • Hiç dil konuşmayanlar: $k$ (bilinmeyen, $k \ge 0$)
• Toplam sınıf mevcudu denklemi: $32 = x + (x-2) + 8 + 5 + k$.
• Denklemi düzenlersek: $32 = 2x + 11 + k$.
• Buradan $2x + k = 21$ denklemini elde ederiz.

Adım 5: $x$'i Maksimize Edelim.

• Kişi sayıları negatif olamaz:
  • $x \ge 0$ (yalnız Fransızca konuşanlar)
  • $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$ (yalnız Almanca konuşanlar)
  • $k \ge 0$ (hiç dil konuşmayanlar)
• $2x + k = 21$ denkleminde $x$'i en büyük yapmak için $k$'yi en küçük yapmalıyız.
• $x$ ve $k$ tam sayı olmalıdır.
• Eğer $k=0$ alırsak: $2x = 21 \implies x = 10.5$. Kişi sayısı tam sayı olamayacağı için $k=0$ olamaz.
• $2x$ çift bir sayı olduğundan, $2x+k=21$ denkleminin sağlanması için $k$ tek bir sayı olmalıdır.
• $k$'nin alabileceği en küçük tek tam sayı değeri $1$'dir.
• $k=1$ alırsak: $2x + 1 = 21 \implies 2x = 20 \implies x = 10$.
• Bu durumda tüm koşullar sağlanır:
  • Yalnız Fransızca konuşanlar ($x$): 10 kişi ($10 \ge 2$ koşulu sağlanır).
  • Yalnız Almanca konuşanlar ($x-2$): $10-2 = 8$ kişi ($8 \ge 0$ koşulu sağlanır).
  • Hiç dil konuşmayanlar ($k$): 1 kişi ($1 \ge 0$ koşulu sağlanır).
• $x=10$ değeri, $k$'nin en küçük pozitif tam sayı değeri için elde edildiğinden, $x$'in alabileceği en büyük değerdir.

Cevap D seçeneğidir.