Verilen küme $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$'dir.

Öncelikle A kümesindeki tek ve çift sayıları belirleyelim:

• Tek sayılar kümesi: $O = \{1, 3, 5, 7\}$
• Çift sayılar kümesi: $E = \{2, 4, 6\}$

Soruda B kümesi, A'nın elemanları tek sayı olan alt kümeleri; C kümesi ise A'nın elemanları çift sayı olan alt kümeleri olarak tanımlanmıştır. Genellikle bu tür sorularda, "elemanları X olan" ifadesi, kümenin boş küme olmadığını ve tüm elemanlarının X özelliğini taşıdığını ima eder. Bu yorumla doğru cevaba ulaşılmaktadır.

1. B kümesinin eleman sayısı ($|B|$):

• B kümesi, elemanları sadece tek sayılardan oluşan alt kümelerdir. Bu alt kümeler, $O = \{1, 3, 5, 7\}$ kümesinin alt kümeleridir.
• $|O| = 4$ olduğu için, $O$ kümesinin toplam $2^4 = 16$ tane alt kümesi vardır.
• Ancak, "elemanları tek sayı olan" ifadesi genellikle boş kümenin hariç tutulduğu anlamına gelir. Bu durumda, B kümesi $O$ kümesinin boş olmayan alt kümelerinden oluşur.
• $|B| = 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$.

2. C kümesinin eleman sayısı ($|C|$):

• C kümesi, elemanları sadece çift sayılardan oluşan alt kümelerdir. Bu alt kümeler, $E = \{2, 4, 6\}$ kümesinin alt kümeleridir.
• $|E| = 3$ olduğu için, $E$ kümesinin toplam $2^3 = 8$ tane alt kümesi vardır.
• Benzer şekilde, C kümesi $E$ kümesinin boş olmayan alt kümelerinden oluşur.
• $|C| = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$.

3. B ve C kümelerinin kesişiminin eleman sayısı ($|B \cap C|$):

• $B \cap C$ kümesi, hem elemanları sadece tek sayılardan oluşan hem de elemanları sadece çift sayılardan oluşan alt kümelerdir.
• Bir kümenin tüm elemanları hem tek hem de çift olamaz (boş küme hariç).
• Eğer bir alt küme $B$'ye aitse, elemanları $O$ kümesinden gelmelidir. Eğer $C$'ye aitse, elemanları $E$ kümesinden gelmelidir.
• Yani, $B \cap C$ kümesinin elemanları $O \cap E$ kümesinin alt kümeleri olmalıdır.
• $O \cap E = \emptyset$ (boş küme) olduğu için, $B \cap C$ kümesinin elemanları sadece boş küme olabilir.
• Ancak, yukarıdaki yorumumuza göre B ve C kümeleri boş olmayan alt kümeleri içerir. Dolayısıyla, $B \cap C$ kümesinde boş küme de bulunmaz.
• Bu durumda, $B \cap C = \emptyset$ (boş küme) ve $|B \cap C| = 0$.

4. B ∪ C kümesinin eleman sayısı ($|B \cup C|$):

• Kümelerin birleşim formülü: $|B \cup C| = |B| + |C| - |B \cap C|$
• $|B \cup C| = 15 + 7 - 0$
• $|B \cup C| = 22$

Cevap A seçeneğidir.