Adım 1: A kümesinin eleman sayısını bulma.
A kümesi \(A=\{x | 0 \le x \le 80, x=4k, k \in \mathbb{N}\}\) olarak tanımlanmıştır. Burada \(x\), 0 ile 80 arasında 4'ün katı olan doğal sayılardır. Matematik problemlerinde \(\mathbb{N}\) doğal sayılar kümesi genellikle \(\{0, 1, 2, ...\}\) olarak kabul edilir, özellikle 0'ın aralığa dahil olduğu durumlarda.
- \(0 \le 4k \le 80\)
- Her tarafı 4'e bölersek: \(0 \le k \le 20\)
\(k\) değerleri \(\{0, 1, 2, ..., 20\}\) olduğundan, A kümesinin eleman sayısı:
\(|A| = 20 - 0 + 1 = 21\)
Adım 2: B kümesinin eleman sayısını bulma.
B kümesi \(B=\{y | 1 \le y \le 99, y=6n, n \in \mathbb{N}\}\) olarak tanımlanmıştır. Burada \(y\), 1 ile 99 arasında 6'nın katı olan doğal sayılardır. \(y \ge 1\) olduğu için \(n\) değeri 0 olamaz, bu yüzden \(\mathbb{N}\) burada \(\{1, 2, 3, ...\}\) olarak alınmalıdır.
- \(1 \le 6n \le 99\)
- Her tarafı 6'ya bölersek: \(1/6 \le n \le 99/6\)
- Yani \(0.16... \le n \le 16.5\)
\(n\) değerleri \(\{1, 2, ..., 16\}\) olduğundan, B kümesinin eleman sayısı:
\(|B| = 16 - 1 + 1 = 16\)
Adım 3: A ve B kümelerinin kesişiminin eleman sayısını bulma.
\(A \cap B\) kümesinin elemanları hem A'nın hem de B'nin elemanı olmalıdır. Yani hem 4'ün hem de 6'nın katı olmalıdır. Bu da 4 ve 6'nın en küçük ortak katı (EKOK) olan 12'nin katı olmaları gerektiği anlamına gelir. EKOK(4, 6) = 12.
Aralık olarak, A kümesi için \(0 \le x \le 80\) ve B kümesi için \(1 \le y \le 99\). Kesişim için ortak aralık \(1 \le z \le 80\) olmalıdır (çünkü 0, B'de yok; 84, 96 gibi değerler A'da yok).
Elemanlar \(12m\) şeklinde olmalıdır:
- \(1 \le 12m \le 80\)
- Her tarafı 12'ye bölersek: \(1/12 \le m \le 80/12\)
- Yani \(0.08... \le m \le 6.66...\)
\(m\) değerleri \(\{1, 2, ..., 6\}\) olduğundan, \(A \cap B\) kümesinin eleman sayısı:
\(|A \cap B| = 6 - 1 + 1 = 6\)
Adım 4: \((A-B) \cup (B-A)\) kümesinin eleman sayısını bulma.
\((A-B) \cup (B-A)\) ifadesi, A ve B kümelerinin simetrik farkını temsil eder. Simetrik farkın eleman sayısı şu formülle bulunur:
\(|(A-B) \cup (B-A)| = |A| + |B| - 2|A \cap B|\)
Bulduğumuz değerleri yerine koyalım:
\(|(A-B) \cup (B-A)| = 21 + 16 - 2 \times 6\)
\(|(A-B) \cup (B-A)| = 37 - 12\)
\(|(A-B) \cup (B-A)| = 25\)
Cevap B seçeneğidir.