Verilen problemde, De Morgan Kuralı olan $(A \cap B)' = A' \cup B'$ eşitliğinin adım adım ispatı gösterilmiştir. Gülay'ın hata yaptığı ilk adımı bulmamız isteniyor.

• Başlangıç: $(A \cap B)'$


• I. Adım: $\{x \mid x \notin (A \cap B)\}$

Bu adım, bir kümenin tümleyeninin tanımına göre doğrudur. Bir eleman bir kümenin tümleyenindeyse, o kümede değildir. Yani, $x \in (A \cap B)'$ demek $x \notin (A \cap B)$ demektir.



• II. Adım: $\{x \mid \neg(x \in A \land x \in B)\}$

Bu adım, $x \notin (A \cap B)$ ifadesini mantık sembolleriyle doğru bir şekilde ifade eder. $x \in (A \cap B)$ demek $x \in A$ ve $x \in B$ demektir. Dolayısıyla, $x \notin (A \cap B)$ demek $\neg(x \in A \land x \in B)$ demektir.



• III. Adım: $\{x \mid x \in A' \land x \in B'\}$

Bu adımda hata yapılmıştır. Mantıkta De Morgan Kuralı'na göre, $\neg(P \land Q)$ ifadesi $\neg P \lor \neg Q$ şeklinde açılır. Bu kuralı II. Adım'daki ifadeye uyguladığımızda:

$\neg(x \in A \land x \in B) \equiv \neg(x \in A) \lor \neg(x \in B)$

Bu da $x \notin A \lor x \notin B$ anlamına gelir. Küme notasyonunda ise bu, $x \in A' \lor x \in B'$ demektir. Ancak III. Adım'da $\land$ (VE) bağlacı kullanılmıştır ($x \in A' \land x \in B'$). Doğrusu $\lor$ (VEYA) bağlacı olmalıdır.

Bu nedenle, hata yapılan ilk adım III. Adım'dır.



• IV. Adım: $\{x \mid x \in (A' \lor B')\}$

Eğer III. Adım doğru olsaydı (yani $x \in A' \lor x \in B'$ şeklinde yazılsaydı), bu adım mantıksal ifadeyi küme üyeliği şeklinde yeniden yazımıdır ve doğru olurdu.



• V. Adım: $\{x \mid x \in (A' \cup B')\}$

Bu adım, mantıksal VEYA ($\lor$) bağlacını küme birleşimi ($\cup$) işlemine doğru bir şekilde çevirir. Yani, $x \in A' \lor x \in B'$ ifadesi $x \in (A' \cup B')$ olarak yazılabilir. Bu adım da doğru olurdu.

Gülay'ın hata yaptığı ilk adım III. Adım'dır, çünkü De Morgan Kuralı'nı yanlış uygulamıştır.

Cevap C seçeneğidir.