Verilen kümelerin eleman sayılarını ve kesişimlerinin eleman sayısını bulup, birleşim kümesinin eleman sayısını hesaplayalım.
- A kümesinin eleman sayısı ($|A|$):
A kümesi $x = 3k+1$ formundaki ve $1 < x < 100$ aralığındaki tam sayılardan oluşur.
Bu aralıktaki ilk eleman için $k=1 \Rightarrow x=3(1)+1=4$.
Bu aralıktaki son eleman için $k=32 \Rightarrow x=3(32)+1=97$. ($k=33 \Rightarrow x=100$, bu aralıkta değil.)
A kümesinin elemanları bir aritmetik dizi oluşturur: $4, 7, ..., 97$.
Eleman sayısı formülü: $\text{Terim Sayısı} = \frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Ortak Fark}} + 1$
$|A| = \frac{97 - 4}{3} + 1 = \frac{93}{3} + 1 = 31 + 1 = 32$.
- B kümesinin eleman sayısı ($|B|$):
B kümesi $y = 4p+1$ formundaki ve $0 < y < 80$ aralığındaki tam sayılardan oluşur.
Bu aralıktaki ilk eleman için $p=0 \Rightarrow y=4(0)+1=1$.
Bu aralıktaki son eleman için $p=19 \Rightarrow y=4(19)+1=77$. ($p=20 \Rightarrow y=81$, bu aralıkta değil.)
B kümesinin elemanları bir aritmetik dizi oluşturur: $1, 5, ..., 77$.
$|B| = \frac{77 - 1}{4} + 1 = \frac{76}{4} + 1 = 19 + 1 = 20$.
- A ve B kümelerinin kesişiminin eleman sayısı ($|A \cap B|$):
$A \cap B$ kümesindeki elemanlar hem A'nın hem de B'nin koşullarını sağlamalıdır.
Yani $x = 3k+1$ ve $x = 4p+1$ olmalıdır. Bu, $x \equiv 1 \pmod{3}$ ve $x \equiv 1 \pmod{4}$ anlamına gelir.
Bu durumda $x \equiv 1 \pmod{\text{EKOK}(3,4)}$ olmalıdır. $\text{EKOK}(3,4) = 12$.
Dolayısıyla $x = 12m+1$ formundadır.
Aralık koşulları $1 < x < 100$ ve $0 < x < 80$ olduğundan, kesişim için ortak aralık $1 < x < 80$ olur.
$1 < 12m+1 < 80$ eşitsizliğini çözelim:
$0 < 12m < 79$
$0 < m < \frac{79}{12} \approx 6.58$
m bir tam sayı olduğundan, $m$ değerleri $1, 2, 3, 4, 5, 6$ olabilir.
Bu aralıktaki ilk eleman için $m=1 \Rightarrow x=12(1)+1=13$.
Bu aralıktaki son eleman için $m=6 \Rightarrow x=12(6)+1=73$.
$A \cap B$ kümesinin elemanları: $13, 25, 37, 49, 61, 73$.
$|A \cap B| = \frac{73 - 13}{12} + 1 = \frac{60}{12} + 1 = 5 + 1 = 6$.
- A ve B kümelerinin birleşiminin eleman sayısı ($|A \cup B|$):
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
$|A \cup B| = 32 + 20 - 6$
$|A \cup B| = 52 - 6$
$|A \cup B| = 46$.
Cevap B seçeneğidir.