Verilen önermelerin her birini adım adım inceleyelim:
- I. Birbirine eşit olan iki küme birbirinin alt kümesidir.
Kümelerde eşitlik tanımına göre, iki küme A ve B birbirine eşitse ($A=B$), bu durum ancak A kümesi B kümesinin alt kümesi ($A \subseteq B$) ve B kümesi A kümesinin alt kümesi ($B \subseteq A$) ise geçerlidir. Dolayısıyla, birbirine eşit olan kümeler aynı zamanda birbirinin alt kümesidir. Bu ifade daima doğrudur.
- II. $A \subseteq B$ ve $A \neq B$ ise B kümesinin A kümesinden farklı en az bir elemanı vardır.
Bu ifade, öz alt küme ($A \subset B$) tanımını açıklamaktadır. $A \subseteq B$ demek, A'nın tüm elemanları B'de bulunur demektir. $A \neq B$ demek ise A ve B kümelerinin eşit olmadığı anlamına gelir. Eğer A, B'nin alt kümesi olup B'ye eşit değilse, bu durumda B kümesinde A kümesinde bulunmayan en az bir eleman olmak zorundadır. Aksi takdirde A ve B eşit olurdu. Bu ifade daima doğrudur.
- III. $A \subseteq B \subseteq C$ ise $C \subseteq A'$dır.
Burada $A'$ (veya $A^c$) A kümesinin tümleyeni anlamına gelir. Yani, evrensel kümedeki A'da olmayan elemanların kümesidir. Bu ifadenin daima doğru olup olmadığını bir örnekle kontrol edelim:
Evrensel küme $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ olsun.
Küme $A = \{1\}$ olsun.
Küme $B = \{1, 2\}$ olsun.
Küme $C = \{1, 2, 3\}$ olsun.
Bu durumda $A \subseteq B \subseteq C$ koşulu sağlanır.
Şimdi $A'$ kümesini bulalım: $A' = U \setminus A = \{2, 3, 4, 5\}$.
Önermenin ikinci kısmı $C \subseteq A'$ diyor. Yani $C$ kümesinin tüm elemanları $A'$ kümesinde bulunmalıdır.
$C = \{1, 2, 3\}$ ve $A' = \{2, 3, 4, 5\}$.
$1 \in C$ iken $1 \notin A'$. Bu durumda $C \subseteq A'$ ifadesi yanlıştır.
Dolayısıyla, bu ifade daima doğru değildir.
Yukarıdaki analizlere göre, daima doğru olan ifadeler I ve II'dir.
Cevap D seçeneğidir.