Verilen sembolik işlem şu şekilde tanımlanmıştır:

Üstteki küme (örneğin A) ve alttaki küme (örneğin B) verildiğinde, bu işlem A - B kümesinin alt kümelerinin sayısını ifade eder.

Matematiksel olarak, eğer bir küme X'in eleman sayısı $|X|$ ise, alt küme sayısı $2^{|X|}$'dir. Dolayısıyla, tanımlanan işlem $2^{|A-B|}$ olarak ifade edilebilir.

Şimdi bize sorulan ifadeye bakalım:

Üstteki küme: $A \cup B$

Alttaki küme: $A - B$

Tanıma göre, bu ifade $(A \cup B) - (A - B)$ kümesinin alt kümelerinin sayısını temsil eder.

Şimdi $(A \cup B) - (A - B)$ kümesini basitleştirelim:

• Küme farkı tanımına göre $X - Y = X \cap Y'$ (X kesişim Y'nin tümleyeni).
• Bu durumda, $(A \cup B) - (A - B) = (A \cup B) \cap (A - B)'$
• $A - B = A \cap B'$ olduğunu biliyoruz.
• O zaman $(A - B)' = (A \cap B')'$
• De Morgan kurallarına göre $(A \cap B')' = A' \cup (B')' = A' \cup B$.

Şimdi bu ifadeyi yerine koyalım:

$(A \cup B) \cap (A' \cup B)$

Dağılma özelliğini kullanarak bu ifadeyi açalım:

$((A \cup B) \cap A') \cup ((A \cup B) \cap B)$

• İlk kısım: $(A \cup B) \cap A'$
• $= (A \cap A') \cup (B \cap A')$
• $= \emptyset \cup (B \cap A')$ (Çünkü $A \cap A' = \emptyset$)
• $= B \cap A'$
• $= B - A$
• İkinci kısım: $(A \cup B) \cap B$
• $= (A \cap B) \cup (B \cap B)$
• $= (A \cap B) \cup B$
• $= B$ (Çünkü $A \cap B$ kümesi $B$ kümesinin bir alt kümesidir, birleşimleri $B$ olur.)

Şimdi bu iki kısmı birleştirelim:

$(B - A) \cup B$

$B - A$ kümesi, $B$ kümesinin bir alt kümesidir. Bir küme ile kendisinin bir alt kümesinin birleşimi, o kümenin kendisine eşittir.

Dolayısıyla, $(B - A) \cup B = B$.

Sonuç olarak, verilen ifade B kümesinin alt kümelerinin sayısını temsil eder.

Cevap B seçeneğidir.