Bir kümenin eleman sayısı o kümenin bir elemanı ise bu kümeye "şanslı küme" denir.
Verilen küme $K = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$'dur. Bu kümenin 9 elemanı vardır.
Bir $A$ alt kümesinin "şanslı küme" olması için, eleman sayısı $|A|$'nın $A$ kümesinin bir elemanı olması gerekir. Yani, $|A| \in A$ olmalıdır.
Şanslı küme $A$ için, eleman sayısı $|A|$ değeri $K$ kümesinin bir elemanı olmalıdır. Dolayısıyla, $|A|$ değeri 1'den 9'a kadar herhangi bir tam sayı olabilir.
- Bir $A$ alt kümesinin eleman sayısı $n$ olsun, yani $|A|=n$.
- Şanslı küme tanımına göre, $n \in A$ olmalıdır.
- $n$ değeri $K$ kümesinin bir elemanı olduğundan, $n \in \{1, 2, ..., 9\}$ olabilir.
Şimdi, her olası $n$ değeri için kaç farklı şanslı küme oluşturulabileceğini bulalım:
- $A$ kümesi $n$ elemanlı olacak ve $n$ elemanı $A$'nın içinde bulunacak.
- Geriye $A$ kümesi için seçilmesi gereken $n-1$ eleman kalır.
- Bu $n-1$ eleman, $K$ kümesinden $n$ hariç diğer elemanlar arasından seçilmelidir.
- $K \setminus \{n\}$ kümesinin eleman sayısı $9-1=8$'dir.
- Dolayısıyla, $n$ elemanlı bir şanslı küme oluşturmak için, $K \setminus \{n\}$ kümesinden $n-1$ eleman seçmemiz gerekir. Bu da $\binom{8}{n-1}$ farklı şekilde yapılabilir.
Olası $n$ değerleri (kümenin eleman sayısı) 1'den 9'a kadardır:
- $n=1$: $\binom{8}{1-1} = \binom{8}{0} = 1$
- $n=2$: $\binom{8}{2-1} = \binom{8}{1} = 8$
- $n=3$: $\binom{8}{3-1} = \binom{8}{2} = 28$
- $n=4$: $\binom{8}{4-1} = \binom{8}{3} = 56$
- $n=5$: $\binom{8}{5-1} = \binom{8}{4} = 70$
- $n=6$: $\binom{8}{6-1} = \binom{8}{5} = 56$
- $n=7$: $\binom{8}{7-1} = \binom{8}{6} = 28$
- $n=8$: $\binom{8}{8-1} = \binom{8}{7} = 8$
- $n=9$: $\binom{8}{9-1} = \binom{8}{8} = 1$
Toplam şanslı küme sayısı, bu değerlerin toplamıdır:
Toplam = $\binom{8}{0} + \binom{8}{1} + \binom{8}{2} + \binom{8}{3} + \binom{8}{4} + \binom{8}{5} + \binom{8}{6} + \binom{8}{7} + \binom{8}{8}$
Bu toplam, binom açılımından bilindiği üzere $\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} = 2^m$ formülü ile hesaplanır.
Burada $m=8$ olduğundan, toplam $2^8$'dir.
Cevap D seçeneğidir.